传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？例如汉字‘日’和‘中’字都可一笔画，而‘田’和‘目’则不能。两两相连区域可一笔画，例如，平面4个区域两两相连区域可一笔划；轮胎状上7个两两相连区域可一笔画；我们可以构造一个多维空间的无穷个两两相连区域一笔划。

简介(三个洞的封闭曲面 在多维空间构造无限多个两两相连的区域)

规律证明(证明 一笔画定理)

七桥问题与欧拉定理

简介

众所周知的“哥尼斯堡城‘七桥问题’”被大数学家欧拉开创了数学新分支-----图论。也就是“一笔画”。一笔画图形的必要条件是：奇节点数目是0或者2。图（1）的“七桥问题”A,B,C,D都是奇节点，数目是4，所以不能够“一笔画”。　我们把节点转换回来，成为“节面”（区域），来考虑“一笔画”。

（一），在平面中，4个或者4个以下的区域可以构成两两相连的区域，可以一笔画。图（2）。每个区域必须是单连通的，就是一个区域不能够是分成2块或者2块以上。图（3）就不是单连通的。这是著名的四色猜想。大家知道，平面上不可能有两两相同的5个区域。

（二），紧致封闭平面，在一个轮胎状的表面，7个或者7个以下的区域可以构成两两相连的区域。可以“一笔划”。把图（A）上下对折以后，再左右对折，形成一个轮胎状，7个区域两两相连（国外数学家给出）.两两相连的区域可以不经过其它区域到达任何一个区域。P。J希伍德以毕生精力研究四色定理，并且证明了5色定理，稀伍德考察了一般曲面着色问题提出一个推测：在有P>1个洞的封闭曲面上，足以为任何地图着色的最小数等于(左图上下对折再左右对折就是一个轮胎，7个区域两两相连，可以一笔画)

Np=[（7+√(48p)）/2],其中[X]表示整数部分，

三个洞的封闭曲面

P=1,M1=7,即图（A).

克莱因瓶也只能7色，而不是8色。（三），德国数学家G.林格证明了：足以为任何一张有P>1个洞的封闭曲面着色的真正最小色数Np，Np-Mp《2，以后美国数学家VT杨斯进一步证明了Np-Mp《1，而希伍德的假设对于不同球面几乎一切封闭曲面都是成立的，1974年，林格作出了完整的证明。例如，两个洞的封闭曲面应该是M2=[7+√(48×2)/2]=8,能够作8色。（见左图）王晓明王蕊珂经过9年完成。

四，如果我们不限定形态

三个洞的封闭曲面M三个3=[7+√(48×3)/2]=9，能够作9色四个洞10个区域两两相连一笔画

五，图D.这是有4个洞的10个两两相连区域图，下面四叉按照ABCD对应。

在多维空间构造无限多个两两相连的区域

图E:　这是5个洞的11个两两相连区域。可以一笔画。

（一），把图（5）上下左右对折形成一个轮胎状如图（6），有

编号1,2,3,4，共4个区域两两相连。

（二），把一根管子，一边是区域编号5和区域编号6，两两交错插在区域编号1和2；3和4上。见图（7）和图（8）。于是有6个区域亏格为2的曲面上两两相连。

（三），把一个三叉管，图（9），一面是区域编号7，一面是区域编号8，三端交错插在区域编号1和2；3和4；5和6上。。于是有8个区域两两相连。

（四），我们假定这些材料可以任意收缩和拉长。下一步显然可以用四叉管（图10）的四端交错插在8个区域。然后又用五叉管，六叉管，，，，。无限制进行下去。

（五），这些管子里面同样是两两相连的平面，管子内部就是有界的无穷空间。就是空洞----宇宙的通道，量子理论认为，可能存在无穷多个宇宙，这些宇宙通过一种虫洞连接起来。任何一个宇宙可以不通过第三者直接到达。虫洞是连接白洞和黑洞的多维隧道，在时空A点和时空B点连接一条近路（多维宇宙），宇宙中温度大体相同，说明两两相连的可能性。量子理论把数论与几何，数学中最古老的两门学科联系起来。

注意庞加莱猜想：在一个三维空间，假如每条封闭的曲线都能够收缩成为一点，这个空间一定是个圆球。

四，无穷多个区域两两相连与无穷多个素数两两互素具有相同性质，如果我们把区域编号1的区域记为第一个素数2，区域编号2的区域记为第二个素数3，照此类推。如是我们用榫卯结构把两个系统连接起来图。以后我们再把两个系统展开，可以发现无限广阔的天地。(下图F根据图A,克莱因瓶外面可以做7个两两相连区域，翻转过来就是亏格为2的曲面，可以做8个两两相连区域，就是说，克莱因瓶里面可以有8个两两相连区域，而外面只有7个区域。)一笔画问题的规律

早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．

但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。

数学家欧拉找到一笔画的规律是：

⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

⒊其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。)

比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。

■补充：相关名词的含义

顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。

奇顶点：指数为奇数的顶点。

偶顶点：指数为偶数的顶点

规律证明

先定义能一笔画出并回到起点的图为欧拉图，连通就是说任意两个节点之间可以找到一条连接它们的线。这个要求看来很重要，直观方法中与这一点对应的是说原图本身不能是分成多个的

证明

设G为一欧拉图，那么G显然是连通的。另一方面，由于G本身为一闭路径，它每经过一个顶点一次，便给这一顶点增加度数2，因而各顶点的度均为该路径经历此顶点的次数的两倍，从而均为偶数。反之，设G连通，且每个顶点的度均为偶数，欲证G为一欧拉图。为此，对G的边数归纳。当m = 1时，G必定为单结点的环，显然这时G为欧拉图。设边数少于m的连通图，在顶点度均为偶数时必为欧拉图，现考虑有m条边的图G。设想从G的任一点出发，沿着边构画，使笔不离开图且不在构画过的边上重新构画。由于每个顶点都是偶数度，笔在进入一个结点后总能离开那个结点，除非笔回到了起点。在笔回到起点时，它构画出一条闭路径，记为H。从图G中删去H的所有边，所得图记为G’，G’未必连通，但其各顶点的度数仍均为偶数．考虑G的各连通分支，由于它们都连通，顶点度数均为偶数，而边数均小于m，因此据归纳假设，它们都是欧拉图。此外，由于G连通，它们都与H共有一个或若干个公共顶点，因此，它们与H一起构成一个闭路径。这就是说，G是一个欧拉图。

一笔画定理

1736年，欧拉证实：七桥问题的走法根本不存在。同时，他发表了“一笔画定理”：

一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件，即图形是封闭联通的和图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2。

欧拉的研究开创了数学上的新分支――拓扑学的先声。

七桥问题与欧拉定理

七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。