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词条 选择公理
释义

“选择公理”有很多等价的形式(equivalent form),以下用一个较简单的描述: 选择公理 设C为一个由非空集合所组成的集合。那么,我们可以从每一个在C中的集合中,都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。

概述

引子

“选择公理”(Axiom of Choice)对一般人来说,也许从来没有听过;即使是对念数理科的学生来说也可能从来未接触过,多是听多于用。但这条“选择公理”却是一条困扰整个数学界多年的公理,而它的合理性方面,至今也没有一个定论。有些人认为它是明显之至,简单得很。但当细味其内容及其用途时,不单发现它妙用无穷,而且会开始质疑自己对这条公理的理解程度,甚至开始怀疑这条公理的真确性。“选择公理”便是如此的一条令人迷惑的公理,现在我们一同看看它究竟是什么。

简单描述

“选择公理”有很多等价的形式(equivalent form),以下用一个较简单的描述:

选择公理 设C为一个由非空集合所组成的集合。那么,我们可以从每一个在C中的集合中,都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。

举例说明

为令读者有进一步的了解,以下是一些例子:

较数学化的例子

1a. 如果C为{1,2,3,…}的所有非空子集的集合,那么,我们可以定义一个新集合,使得它的元素为每一个在C中的集合的最小元素和所在集合配成的有序对。

2a. 如果C为所有长度有限而非零的实数区间的集合,那么,我们可以定义一个新集合,使得它的元素为每一个C中的区间的中间点和所在区间配成的有序对。

较实在的例子

看来也算是合理,但以上的例可能较数学化、较难理解,现在再用个较实在的例子,

3a. 如果在前面放了放置了几堆苹果。那么,我们可以在每堆中选取一个苹果,再把它们放在新的一堆内。

看了这个例子,可能令你更加明白,不过要留意的是所谓“几堆”,可能是无限堆,而每堆苹果也可能是有无限个的,那么,可以换成

3b. 如果在前面放了放置了无限堆苹果,而每堆苹果也有无限个。那么,我们可以在每堆中选取一个苹果,再把它们放在新的一堆内。

这个便是“选择公理”。看来也很合理,既然每一堆也是有苹果的,当然可以在每一堆中选择一个苹果出来,不论每堆的苹果数目的多少,和堆数的多少,“应该”也能做到。

但在这堆苹果中,究竟选择那一个呢?或许有人会说:“随便一个便可!”但什么是“随便”呢?可否具体点陈述出来呢?这个“随便”的方法是否必然存在呢?

如果数学化点看问题,根据“选择公理”,

2b. 如果C为所有长度非零的实数区间,那么,我们可以定义一个新集合,使得它的元素为每一个C中的区间中的点和所在区间配成的有序对。

如果仔细的看2b,“每一个C中的区间中的点”,哪一点呢?最大的那一点?最小的那一点?中间的那一点?通通也不存在,因为“长度非零的实数区间”是包括了长度无限的区间,那便可能没有了所谓“最大”、“最小”或“中间”等概念。那么,如何具体地陈述出方法呢?这个方法会不会不存在呢?

这个问题可能还是可以回答的,只是要复杂一些,将集合分为3类:有限的取中间点,一面无限的取另一面的边界+1或-1,而(-∞,+∞)中取0。

没有答案的问题

然而下面的问题就确实无法给出答案:

1b. 如果C为实数集R的所有非空子集的集合,那么,我们可以定义一个新集合,使得它的元素为每一个在C中的集合的某一元素和所在集合配成的有序对。

可能有人认为,即使是不能陈述出方法,也不能因此就否定或放弃这公理,因为在数学上有很多“存在性定理”(Existence Theorems),都是只指出某事件的存在性,而不具体描述寻求的方法,例如:中值定理(Mean Value Theorem)及洛尔定理(Rolle's Theorem),都是已证明是真确的存在性定理,所以只要能证明这公理是正确,便可以继续使用。

另外,不能具体陈述出方法,也有可能是括限于人类在语言上的障碍,也即是说,只是不能用人类的语言表达而已,正如最伟大的文学家,也只是用他们认为最适当的语句来表达,可能受到语言限制,不能完全反映他们内心的思想,正所谓“不能言喻”。

争议

尝试证明

但“选择公理”当然不是这般简单,它的不可思议,它的奇妙用法,以及它所导致的结果,到现在才是开始。

要证明选择公理,并非一件容易的事,其中一个原因是选择公理不单是一条简单的数学命题,而是牵涉较基层的数学──集合论。而集合论正就是数学的基础理论,所以在证明时,工具也会较少。

不少的数学家也曾尝试证明选择公理,他们希望用最基本的工具来作证明,但往往在这些证明中,都用了一些并不基本的理论,例如:“良序定理”(Well-ordering Theorem)及“佐恩引理”(Zorn's Lemma),

良序定理

所有集合能被良序化。换句话说,对每一个集合来说,都存在一种排序方法,使得它的所有子集都有极小元素。

佐恩引理

若一偏序集是归纳序集,那么,它必然存在最大元素。换句话说,如果在一个偏序集的每一条链在原来的偏序集中都存在着上界,这偏序集必存在最大元素。

等价命题

这些理论,即使只是从字面的解释,也不容易判断它的真确性,而事实上,“良序原理”及“佐恩引理”是不能用基本工具证明的。直至现时为此,也没有人能用基本工具来证明“选择公理”。

更有趣的结果是原来“选择公理”、“良序原理”及“佐恩引理”都是等价的命题,也就是说它们是在描述同一样的事件。多年以来,所发现的“选择公理”的等价命题实在不少,网主并没有统计过,某些的书籍可写出约30个等价命题,网主亦搜集了部分等价命题(英文版)可供网友参考,而人类只是在这些命题与命题间兜兜转转。

争论

由此可知,要在数学上证明或否证“选择公理”并非易事,所以数学家便转移目标,从逻辑系统中看看它的相容性。而事实上,经证明所得,现在我们常用的ZF公理系统与“选择公理”是相容的,也就是说用ZF公理系统不能得出“选择公理”的逻辑矛盾。如果我们选择接纳“选择公理”,则便有一套包含“选择公理”的公理系统,一般称“ZFC公理系统”;否则,便不接纳它在公理系统之内,在能把它证明之前,也不能接受它是一“定理”。

不过,这个争论依然未完,因为对于这条公理不只是接纳和不接纳的问题,如果放弃这条公理,有很多美好且乎合“常理”的结果会同时被放弃;但它实际上又与很多“常理”大不协调。

其中一个为人熟识的不合乎常理的结果是“巴拿赫─塔斯基悖论”(Banach-Tarski Paradox),或称“分球问题”。这个悖论可以说是违反了物理学定律,因为这个悖论说可以把一个单位球体(半径为1)分成有限个点集(最少可分成五份),然后通过一些刚体运动,即旋转和平移,再重新组合,不过在组合后,竟然成为两个单位球体,也即是体积增加了一倍,而这个悖论的证明是必须利用到“选择公理”的。也就是说,如果我们选择接纳“选择公理”,则“巴拿赫─塔斯基悖论”便是一条定理,但现实中有这个可能吗?

这其实也是牵涉另一个数学概念──可测集合(Measurable Set)。“巴拿赫─塔斯基悖论”便是存在不可测集合的结果。如果我们接纳“选择公理”,则我们必须接纳不可测集合。若我们不接纳“选择公理”,则可设所有集合皆是“勒贝格可测的”(Lebesgue Measurable),而这个假设也可能是较合乎常理。

但是,如果放弃选择公理,也会有一些很不合常理的情况出现。这些情况取决于选定的不符合选择公理的模型。如在Cohen模型中,存在一个函数,它在一点x0处是不连续的,但对于任何极限为x0的数列{an},{bn=f(an)}的极限都是f(x0)。换句话说,用任何逼近x0的数列时,函数值都能逼近f(x0),而这恰恰是“连续性”的体现。有些模型更是否定“二元可数选择公理”(可数个二元集合上选择公理成立),而这条公理等价于“可数个不交二元集的并集可数”!

没有结论

总而言之,“选择公理”是一条十分争议性的命题,一般的数学家都接受这条公理,因为可以从而得出很多有用的结果,反正使用这公理是没有逻辑矛盾的。但对于逻辑家或集合论家来说,这是一个必须解决的问题,有些人会建议用较弱的“可数选择公理”(Countable Choice)来代替,而确实有很多结果是可以利用可数选择公理来证明的,不过这样只是暂时回避问题,而且依然有些结果是必须用到“选择公理”的。

著名哲学家兼数学家罗素(Bertrand Russell)曾说过:“由无限双袜子中,每双选择一只出来的话,我们需要‘选择公理’,但如果换成是鞋的话,那便不必了。”因为鞋是可以分左右的,袜子则两只没什么分别,不知如何选择。另外,如果只有有限双袜子,在逻辑上是可以不用“选择公理”的。

邦拿(Jerry Bona)也曾说过:“‘选择公理’明显是正确的;‘良序原理’明显是不正确的;‘佐恩引理’又有谁可决定呢?”这虽然是一个笑话,但从此可知道人的直觉并不一定跟从数学的思维。在数学上,这三个命题是等价的,但对于“选择公理”,很多数学家都直觉它是正确的;对于“良序原理”,很多数学家都认为存在问题;“佐恩引理”则复杂得很多数学家也不能单凭直觉作判断。

“选择公理”确是一条谜样的公理,虽然看似十分浅显,但却有奇妙的功能,甚至有超乎常理的结果。有些人对它投以信任一票,有些人则抱怀疑态度。有关这条公理的讨论和研究,相信还会继续,那便看看数学家如何把它解决。最后,网主用罗素的一句话作结束,他在谈及“选择公理”时曾说:

“起先它似乎是明白的;但你愈多思考它,由这公理得出的推论就好像变得愈奇怪;最后你完全不明白它的意思到底是甚么了。”

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更新时间:2025/3/25 22:54:35