向量空间又称线性空间。在解析几何学里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。向量空间是线性代数的中心内容和基本概念之一。它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。

向量空间

公理化定义

基础特性

子空间及基

向量空间的同构

概念化及额外结构

向量空间

向量空间或称线性空间，是现代数学中的一个基本概念，是线性代数研究的基本对象。

向量空间是线性代数的主体，它是数学中基本又重要的概念，其概念是：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域。向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。

在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

公理化定义

给定域 F，一个向量空间是个集合 V 并规定两个运算：

向量加法：V + V → V 记作 v + w, ∃ v, w ∈ V，

标量乘法：F × V → V 记作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V。

符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w.

向量加法交换律: v + w = w + v.

向量加法的单位元: V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v.

向量加法的逆元素: ∀v∈V, ∃w∈V, 导致 v + w = 0.

标量乘法分配于向量加法上: a(v + w) = a v + a w.

标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v.

标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v。

标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 指示域 F 的乘法单位元.

有些教科书还强调以下两个闭包公理：

V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V.

V 闭合在标量乘法下: a v ∈ V.

简而言之，向量空间是一个F-模。

V的成员叫作向量而F的成员叫作标量

若F是实数域R，V称为实数向量空间.

若F是复数域C，V称为复数向量空间.

若F是有限域，V称为有限域向量空间

对一般域F，V称为F-向量空间

基础特性

首5个公理是说明向量V在向量加法中是个可换群.余下的5个公理应用于标量乘法.

这些都是一些特性很容易从向量空间公理推展出来的.如下:零向量 0 ∈ V (公理3) 是唯一的.

a 0 = 0 ∀ a ∈ F.

0 v = 0 ∀ v ∈ V 这里 0 是F的加法单位元.

a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0.

可加的逆元向量 v (公理4) 是唯一的. (写成−v). 这个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的.

(−1)v = −v ∀ v ∈ V.

(−a)v = a(−v) = −(av) ∀ a ∈ F , ∀ v ∈ V.

例子

参见 向量空间例子

子空间及基

一个向量空间 V 的一个非空子集合 W 在加法及标量乘法中表现密闭性，被称为 V 的线性子空间。

给出一个向量集合 B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，纪作 span(B)。

给出一个向量集合 B，若它的扩张就是向量空间 V， 则称 B 为 V 的生成集。

一个向量空间 V 最大的线性独立子集，称为这个空间的基。若 V=0，唯一的基是空集。对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集。

如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如,实数向量空间：R0, R1, R2, R3, …, R∞, …中， Rn 的维度就是 n。

空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。把基中元素排列，向量便可以座标系统来呈现。

线性映射

给两个向量空间 V 和 W 在同一个F场, 设定由V到W的线性变换或“线性映射” . 这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数.这个集合包含所有由V到W的线性映射,以 L(V, W) 来描述, 也是一个F场里的向量空间. 当 V 及 W 被确定后, 线性映射可以用矩阵来表达.

同构是一对一的一张线性映射.如果在V 和W之间存在同构, 我们称这两个空间为同构;他们根本上是然后相同的。

一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。

向量空间的同构

域F上两个向量空间V和V┡，如果存在V到V┡的一个双射φ:V→V┡,且满足条件φ(αu+bv)=αφ(u)+bφ(v),其中α、b是F中元素,u、v是V中元素,那么向量空间V和V┡称为同构的。域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。

概念化及额外结构

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：

一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。

一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为 内积空间。

一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为拓扑向量空间。

一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。