定义

协方差的性质

定义

X(t)为随机过程，a(t)=E(X(t))为期望，Y(t)为另一随机过程

自相关函数的定义为：

R(s,t)=E(X(s)*X(t))

互相关函数的定义为：

R(s,t)=E(X(s)*Y(t))

协方差函数定义为：

B(s,t)=E(X(s)-a(s))(X(t)-a(t))

若X(t)=Y(t)+i*Z(t)，Y,Z为实过程，则称X(t)为复随机过程，相关函数定义为：

B(s,t)=E(X(s)-a(t))(X(t)-a(t))（后一个括号取共轭）

相关函数两个本质特性：

1）共轭对称：B(s,t)=B(t,s)的共轭

2）非负定：对任意的n>=1，t1……tn属于T,n个复数Z1,Z2……，Zn，有

协方差的性质

（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)；

（2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常数）；

（3）COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。

由协方差定义，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。

协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。为此引入如下概念：

定义

ρXY=COV(X，Y)/√D(X)√D(Y)，称为随机变量X和Y的相关系数。

定义

若ρXY=0，则称X与Y不相关。

即ρXY=0的充分必要条件是COV(X，Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。

定理

设ρXY是随机变量X和Y的相关系数，则有

（1）∣ρXY∣≤1；

（2）∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a，b为常数，a≠0）

定义

设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。

若E{[X-E(X)]^k}，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶中心矩。

若E(X^kY^l)，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩。

若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。

显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差COV(X，Y)是X和Y的二阶混合中心矩。