夏普里值，指所得与自己的贡献相等，是一种分配方式

有这样一个故事。

约克和汤姆结对旅游。约克和汤姆准备吃午餐。约克带了3块饼，汤姆带了5块饼。这时，有一个路人路过，路人饿了。约克和汤姆邀请他一起吃饭。路人接受了邀请。约克、汤姆和路人将8块饼全部吃完。吃完饭后，路人感谢他们的午餐，给了他们8个金币。路人继续赶路。

约克和汤姆为这8个金币的分配展开了争执。汤姆说：“我带了5块饼，理应我得5个金币，你得3个金币。”约克不同意：“既然我们在一起吃这8块饼，理应平分这8个金币。” 约克坚持认为每人各4块金币。为此，约克找到公正的夏普里。

夏普里说：“孩子，汤姆给你3个金币，因为你们是朋友，你应该接受它；如果你要公正的话，那么我告诉你，公正的分法是，你应当得到1个金币，而你的朋友汤姆应当得到7个金币。”

约克不理解。

夏普里说：“是这样的，孩子。你们3人吃了8块饼，其中，你带了3块饼，汤姆带了5块，一共是8块饼。你吃了其中的1/3，即8/3块，路人吃了你带的饼中的3-8/3=1/3；你的朋友汤姆也吃了8/3，路人吃了他带的饼中的5-8/3=7/3。这样，路人所吃的8/3块饼中，有你的1/3，汤姆的7/3。路人所吃的饼中，属于汤姆的是属于你的的7倍。因此，对于这8个金币，公平的分法是：你得1个金币，汤姆得7个金币。你看有没有道理？”

约克听了夏普里的分析，认为有道理，愉快地接受了1个金币，而让汤姆得到7个金币。

在这个故事中，我们看到，夏普里所提出的对金币的“公平的”分法，遵循的原则是：所得与自己的贡献相等。

这就是夏普里值的意思。

考虑这样一个合作博弈：a、b、c、投票决定如何分配100万，他们分别拥有50％、40％、10％的权力，规则规定，当超过50%的票认可了某种方案时才能通过。那么如何分配才是合理的呢?按票力分配，a50万、b40万、c10万c向a提出：a70万、b0、c30万b向a提出：a80万、b20万、c0…… 权力指数：每个决策者在决策时的权力体现在他在形成的获胜联盟中的“关键加入者”的个数，这个“关键加入者”的个数就被称为权利指数。 夏普里值（Shapley value）：在各种可能的联盟次序下，参与者对联盟的边际贡献之和除以各种可能的联盟组合。 次序 abc acb bac bca cab cba 关键加入者 b c a a a a 由此计算出a,b,c的夏普里值分别为4/6,1/6,1/6 所以a,b,c应分别获得100万的2/3,1/6,1/6 。

具体算法为：

N={a,b,c}

V(s)= 1, if s∈{{ab},{ac},{abc}} （因为必须超过50%的权利才能通过，50%也不能通过）

0, if s∈{空集，{a},{b},{c},{bc}}

可能排列　a　b　c

abc　0 (v(a)-v(空集))　1(v(ab)-v(a))　0(v(abc)-v(ab)

acb　0(v(a)-v(空集))　0(v(abc)-v(ac))　1(v(ac)-v(a))

bac　1(v(ab)-v(b))　0(v(b)-v(空集))　0(v(abc)-v(ab))

bca　1(v(abc)-v(bc))　0(v(b)-v(空集))　0(v(bc)-v(b))

cab　1(v(ac)-v(c))　0(v(abc)-v(ac))　0(v(c)-v(空集))

cba　1(v(abc)-v(bc))　0(v(bc)-v(c))　0(v(c)-v(空集))

总共得票数　4　1　1

求平均值　4/6　1/6　1/6

具体计算公式为：

φi（n，v）＝｛∑R〔vi（s）－v－1（s）〕｝／n！

其中，R是n个参与人的排列，R有n！个，s为R中的一个排列，vi（s）为包括参与人i及在他之前的参与人集合组成的联盟的支付值，v－1（s）为在他之前的参与人（不包括i）集合的联盟的支付值。通过上述定义，我们可以看到：（1）vi（s）－v－i（s）是一种排列下，参与人i的边际贡献；

（2）参与人的夏普里值为他对联盟的边际贡献之和除以各种可能的联盟组合，因此φi（n，v）≤V；

（3）所有的参与人的夏普里值之和为v；

（4）夏普里值φii（n，v）为期望贡献；

（5）夏普里值得到的前提是各博弈联盟形成的可能性是均等的。