概述

爱因斯坦场方程的性质(场方程为非线性的 对应原理)

概述

1.爱因斯坦场方程：R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv

（Rμν-（1/2）gμνR=8GπTμν/（c*c*c*c） -gμν）

说明：这是一个二阶张量方程，R_uv为里契张量表示了空间的弯曲状况。T_uv为能量-动量张量，表示了物质分布和运动状况。g_uv为度规，κ为系数，可由低速的牛顿理论来确定。"_"后字母为下标，"^"后字母为上标。

意义：空间物质的能量-动量（T_uv）分布=空间的弯曲状况（R_uv）

解的形式是：ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2

式中A,B,C,D为度规g_uv分量。

考虑能量－动量张量T_uv的解比较复杂。最简单的就是让T_uv等于0，对于真空静止球对称外部的情况，则有施瓦西外解。如果是该球体内部的情况，或者是考虑球体轴对称的旋转，就稍微复杂一点。还有更复杂的星云内部或外部的情况，星云内部的星球还要运动、转动等。这些因素都要影响到星云内部的曲面空间。

2.含宇宙常数项的场方程：

R_uv-1/2*R*g_uv+Λ*g_uv=κ*T_uv

此处的Λ是宇宙常数，其物理意义是宇宙真空场。Λ*g_uv为宇宙项。

如果从数学上理解的话，则上面的场方程也可解出下面的形式：

ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2

式中A,B,C,D为度规g_uv分量。

这里的ds就是表达空间弯曲程度的一小段距离。同时因为4维空间与时间有关，ds随时间也会变化。这时，如果没有宇宙项，ds随时间是增大的，宇宙就是膨胀的。如果加了宇宙项，选取适当的Λ值，ds不随时间变化，宇宙就是稳定的。

如果从物理意义上理解的话，把宇宙项移到式右边，则是：

R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv-Λ*g_uv

Λ项为负值，起到了斥力的作用，即宇宙真空场与普通物质场之间存在着斥力。宇宙项和通常物质场的引力作用起到了平衡的作用，所以可得到稳定的宇宙解。

爱因斯坦场方程的性质

场方程为非线性的

爱因斯坦场方程的非线性特质使得广义相对论与其他物理学理论迥异。举例来说，电磁学的麦克斯韦方程组跟电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系（亦即两个解的线性叠加仍然是一个解）。另个例子是量子力学中的薛定谔方程，对于概率波函数也是线性的。

对应原理

透过弱场近似以及慢速近似，可以从爱因斯坦场方程退化为牛顿重力定律。事实上，场方程中的比例常数是经过这两个近似，以跟牛顿重力理论做连结后所得出。