五等分圆周 单规作图法及证明

作法:

以 O 为圆心, a 为半径作一个圆.

⑴ 以 a 为半径在圆上相继取相等的弧 AB, BC, CD 和 DE.

⑵ 以 AC 为半径, A 和 D 分别为圆心, 作弧相交于 F.

⑶ 以 OF 为半径, A 为圆心作弧交圆 O 于 G.

⑷ 仍以 OF 为半径, 分别以 C 和 E 为圆心, 作弧交于 H.

GH 即是内接正五边形的边长, 以圆上任意一点开始, GH 为半径, 相继在圆上取 5 个点, 这 5 个点就可以五等分圆.

证明:

连接线段 OA, OD, OF, AC, AF, AG, CH, CE.

OD, CE 相交于 K,

以下事实是容易证明的:

A, O, D, H 共线;

AC = a√3; (AC 实为 3 等分圆的取点半径, 对应圆心角为 120°)

AG = OF = a√2; (见详证●)

G 在 OF 上, 且 OG ⊥ OA; (见详证●)

HK² = CH² - CK² = 2a² - 3a²/4 = 5a²/4; (见详证①)

HK = a√5/2;

HO = (√5-1)a/2. (见详证②)

因此, HO 长是圆的内接正十边形的边长(见详证③ 第1.节)在半径为 a 的圆中, 内接正五边形的边长(见详证③ 第2.节)

m = a√((5-√5)/2)

m² = a²(5-√5)/2

GH² = HO² + OG² = ((√5-1)a/2)² + a² = a²(6-2√5)/4 + a² = a²(5-√5)/2

∴ GH = m, 即 GH 为内接正五边形的边长

以下为中间过程或引理详细证明:

由作法易知, A, B, C, D, E 都是圆的 6 等分点, AD 为直径,

由 F 的作法易证 OF ⊥ AD (AF = DF => △FAD 为等腰三角形, 底边 AD 的中线 OF 必也是高),

AF = AC = a√3,

∴ OF² = AF² - AO² = (a√3)² - a² = 2a² => OF = a√2.

由作法知

AG = OF = a√2

AG² = 2a² = OA² + OG²

∠AOG 必为 90°(用勾股定理逆定理证 △AOG 为 Rt△)

∴ G 在 OF 上, 且 OG ⊥ OA;

①证明

CK = AC * sin∠COD = AC * sin30° = a√3 * 1/2 = a√3/2

②证明

易证 CE 垂直平分 OD, 所以 OK = a/2

HO = HK - OK = a√5/2 - a/2 = (√5-1)a/2

③证明: 在半径为 a 的圆中,

1. 内接正十边形的边长为 a(√5-1)/2.

2. 内接正五边形的边长为 a√((5-√5)/2).

如下图, ⊙O 的半径为 a, 圆周上 A, B, D 都是圆周上的十等分点,

AD 为内接正五边形的一条边, 交 OB 于 E.

1. 内接正十边形的边长为 a(√5-1)/2.

易知两半径 OA, OB 所夹圆心角 ∠AOB = 36°,

作 ∠OAB 的角平线交 OB 于 C

易证如下事实:

∠OAC = ∠COB = ∠AOB = 36°;

∠OBA = ∠ACB = 72°;

BC 与 AD 互相垂直平分;

OC = CA = AB = L (设 L 为圆的内接正十边形的边长)

ACB ∽ △OAB

=> OA:AC = AB:CB

又 CB = OB - OC

∴ a:L = L:(a - L)

L² = a (a-L)

解此方程得正解

L = a(√5-1)/2.

(PS: 事实上, 图中 C 正是半径 OB 的黄金分割点)

2. 内接正五边形的边长为 a√((5-√5)/2)

根据相似三角形比例关系可得

BC = AB (√5-1)/2 = a(√5-1)/2 * (√5-1)/2 = a(3-√5)/2

BE = BC/2 = a(3-√5)/2/2 = a(3-√5)/4

AE² = AB² - BE²

AD² = (2AE)² = 4AE² = 4AB² - 4BE²

= 4(a(√5-1)/2)² - 4(a(3-√5)/4)²

= a²(5-√5)/2

∴ AD = a√((5-√5)/2)

图：