五次方程的代数解问题

近代研究

五次方程的代数解问题

二次、三次、四次方程的根都可以用它的系数的代数式(即只含有限项的加、减、乘、除和开方五种代数运算的表达式)来表示，五次及五次以上方程到底是否也行，这个问题吸引了众多的著名数学家，在300多年的时间里，人们的各种尝试都失败了。17世纪时英国数学家格里高利曾提出猜测：对于n＞4的一般n次方程是不能用代数方法求解的，但没有人能够证明这个结论。?

到了18世纪下半叶，法国数学家拉格朗日总结分析了别人失败的教训，也意识到这种用代数方法求解五次方程的公式可能不存在，设想了一种理论上的利用根式求解方程的步骤，但还是碰了壁。

一般常常认为，一般的五次方程没有公式解存在，这是不正确的。利用一些超越函数，如 theta function 或 Dedekind eta function 即可找到五次方程的公式解。另外，若我们只需要求得数值解，可以利用数值方法（如牛顿迭代法）得到相当理想的解答。

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近代研究

拉格朗日的工作启发了年轻的阿贝尔(挪威数学家)，中学时期就自学了许多名家的数学著作，进大学后，开始研究五次方程的代数解问题。1824年，他严格地证明了高于四次的一般代数方程不可能有一般形式的代数解，这时他才22岁，尚未大学毕业，但没有得到别人理解，将论文寄给高斯，也未引起注意，1826年才得以公开发表论文。阿贝尔只是证明了高于四次方程的一般代数方程不可能有一般形式的代数解，没有指出哪些特殊的方程存在代数解。这个问题后来被法国年轻数学家伽罗瓦所解决，伽罗瓦创设的理论给出了可解性判别准则，并因此而开辟了数学的新领域——群论。