词条 | 无穷递降法 |
释义 | 无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为: 假设方程有解,并设X为最小的解。 从X推出一个更小的解Y。 从而与X的最小性相矛盾。所以,方程无解。 例子 假设下列方程有正整数解。 <math>a^2+b^2=3 \\cdot (s^2+t^2),\\,</math> 设<math>a_1, b_1, s_1, t_1</math>为最小的解。即 <math> a_1^2+b_1^2 = 3 \\cdot (s_1^2+t_1^2) </math> 显然,<math>a_1</math>和<math>b_1</math>都必须能被3整除。设 <math>3 a_2 = a_1\\, </math>及<math> 3 b_2 = b_1.\\,</math> 我们得到 <math> (3 a_2)^2 + (3 b_2)^2 = 3 \\cdot (s_1^2+t_1^2)</math> <math> 3(a_2^2+b_2^2) = s_1^2+t_1^2.\\, </math> 这是更小的解,与<math>a_1, b_1, s_1, t_1</math>的最小性相矛盾。所以,原方程无正整数解。 |
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