定义

性质

三角函数中的无穷大

无穷级数中的无穷大

无穷大量的比较法

无穷大的基数的比较

定义

无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数。

例如，f(x)=1/x，是当x→0时的无穷大，记作lim(1/x)=∞(x→0)。

精确的定义如下：

设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)≠0时，1/f(x)才为无穷大。

无穷大记作∞，不可与很大的数混为一谈。

分类：

无穷大分为正无穷大、负无穷大和无穷大（可正可负），分别记作+∞、-∞以及∞ ，非常广泛的应用于数学当中。

性质

两个无穷大量之和不一定是无穷大；

有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如，0就算是有界函数）；

两个无穷大量之积一定是无穷大。

另外，不是无穷大量不一定就是有界的（如，数列1，1/2，3，1/3，……）。

三角函数中的无穷大

cot 0=∞

tan π/2=∞

cot π=∞

cot 2π=∞等等

其中单位为弧度

无穷级数中的无穷大

1+1/2+1/3+1/4+1/5+……=∞

尽管每一项都比前一项小

还有令人印象深刻的：

1+1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+……+1/素数+……=∞

尽管我们不知道“下一个”素数是多少

无穷大量的比较法

康托时代，建立了对等比较法，认为由于自然数集，可以和偶数集建立一一对应关系，所以自然数和偶数集等势。又用对角线法，证明实数集比自然数集大。

但是对等的方法，只能在有限集比较中有效。扩展到无限集是不可信的。

例：“问：某班学生人数与教室的凳子数哪个多？最笨但也最显然的方法是规定每个学生都去坐在凳子上，而且一个学生只能坐一张凳子。最后，如果有学生没坐到凳子，那么便是学生多。如果最后有凳子空着，那么便是凳子多。”

如果是有限数量，可以用一对一的方法比较，无限数量，不行。

假设来个副校长，要求每两个学生坐一个凳子，然后他检查了教室一，教室2，教室三......他看到的每个教室都是如此，后面的教室他认为不用检查了（或根本不可能检查完——无穷的概念），于是他宣布，本学校凳子数量，正好是学生数量的一半。

第二天，又来个副校长，要求每个学生坐一个凳子，然后他检查了教室一，教室2，教室三......他看到的每个教室都是如此，后面的教室他认为不用检查了（或根本不可能检查完——无穷的概念），于是他宣布，本学校凳子数量，正好等于学生数量。

两位自以为是的校长都有可能是对的，也可能是错的，方法不对。

在有限集的比较过程中，关键不在建立了怎样的对应关系，关键在于我们要比较到最后，至少一个集合结束了，而另一个集合中元素数量已经超过对比集合数量，而且还没结束，我们才能证明一个集合建立的对应关系比另一个集合数量多。

自然数集中可以抽出偶数集，跟偶数集完全一一对应，而自然数集还有剩余元素，因此我们可以得到结论：自然数集比偶数集多。

参见百度百科：可列集。

无穷大的基数的比较

并不是所有无穷大都相等，它们甚至可以比较大小：

对于无穷集而言，可以以能否双射作为比较大小的标准。

确切地讲，我们用基数的概念来描述集合，对于有限集合而言，可以认为它的基数就是元素的个数，但对无穷集合而言，基数只能以下面的方式理解（当然你也可以据此把无穷集合的基数说成是它元素的个数，但这个个数已经不是日常用语中的意思）

如果集合A与集合B之间存在双射（一一对应），就认为它们的基数一样大;

如果A与B的某个子集某个子集有双射，就认为A的基数不比B更大，也就是A到B有单射，B到A有满射;

当A的基数不比B更大且A、B基数不一样大时，就认为A比B基数小。

可以证明，在现有的集合论框架内，两个集的基数总是大于、小于、等于中的一种，不会出现无法比较的情况。

全体自然数集是具有最小基数的无穷集，它的基数用希伯来字母阿列夫右下角标0来表示。

可以证明，任何一个集合的幂集（所有子集所形成的集合）的比原集合大，如果原来的基数是a，则幂集的基数记为2^a（2的a次方）。

由这一点可以定出几个常见的无穷大的等级。（注意：几级无穷大不是严格的数学术语，只是个通俗方便的解释，严格的概念要以基数为准，参见连续统假设）

零级无穷大：所有整数的数量（阿列夫0）

一级无穷大：所有小数的数量（等于直线上所有的点数、面上所有的点数、立体上所有的点数，即2^阿列夫0）

二级无穷大：在一张纸上随意地画线条，可以连续也可以不连续，所有可能画出的线条数目（曲线样式的数目）

（注意，如果只限于连续的，仍是一级的无穷大，不连续的曲线才有二级的无穷大，即2^(2^阿列夫0)）

阿列夫0<2^阿列夫0<2^(2^阿列夫0)

最大的无穷大是多大呢？答案是没有尽头。事实上，[0,1）上的实数可以和正整数的所有子集的集合一一对应，把这些实数写成2进制。小数点后第n位为1，对应n不在子集中，为0对应不在子集中，这样[0,1)上的实数就和正整数的子集有了一一对应，因此实数和正整数集的所有子集的个数一样多。也可以证明前面所说曲线可以和实数集的所有子集有一一对应关系。我们把前面说的所有曲线看成一个集合，他的所有子集的个数又将比这个集合大。这个过程可以一直进行下去，得到越来越大的无穷大。

另外还有一个问题，即连续统假设：整数的无穷大和实数的无穷大之间存不存在别的无穷大。也就是说，是否存在比整数基数大，而比实数基数小的无穷基数，也就是阿列夫0与2^阿列夫0之间有无别的基数。

更一般的，任给定无穷基数a,在a和2^a之间是否有别的基数？这称为广义连续统假设。

数学家证明连续统假设无法在现代的集合论公理下被证明或证伪，换而言之，承认连续统假设将导出一个体系；不承认将导出另外一种体系，就人类的经验而言不能判断哪一种比另一种更真实。我们认为连续统假设依赖于一些并不显而易见的其他公理或者说假设。也有人就把承认连续统假设或不承认连续统假设作为一个公理。

在集合论里可以证明，比一个集合基数大的最小基数是存在的，如果你承认连续统假设，那么可以把2^阿列夫0改写成阿列夫1，2^(2^阿列夫0)改写成阿列夫2，某些书籍正是这么做的，但是未明确指出这一点。