致密性定理是数学分析中实数集完备性的基本定理之一，它是威尔斯特拉斯（Weierstrass）聚点定理的一个推论。又名魏尔斯特拉斯定理。

内容如下：

有界数列必含有收敛子列。

证明：设{xn}为有界数列。若{xn}中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的。

若数列{xn}不含有无限多个相等的项，则{xn}在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集{xn}至少有一个聚点，记为ξ。存在{xn}的一个收敛子列（以ξ为其极限）。

分析的严格化———定理的出现

十七世纪,微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独立发现,推动了科学技术的发展。一方面,微积分在应用中大获成功;一方面其自身却存在着逻辑矛盾。至十九世纪,由十七、十八世纪积累下来的

矛盾到了非解决不可的程度。于是,在众多数学名家的努力下,提出了七个实数基本定理!

定理表述如下: (1)实数基定理:对 R的每一个分划 A |B,都 v唯一的实数 r,使它大于或等于下类 A中的每一个实数,小于或等于上类 B中的每一个实数。

(2)确界定理:在实数系 R内,非空的有上 (下 )界的数集必有上 (下)确界存在。

(3)单调有界原理:若数列 { xn }单调上升有上界,则{ xn }必有极限

(4)区间套定理:设 { [ an, bn ] }是一个区间套,则必存在唯一的实数 r,使得 r包含在所有的区间里,即 r∈ I∞n = 1[ an, bn ]。

( 5)有限覆盖

定理:实数闭区间 [ a, b ]的任一覆盖 E,必存在有限的子覆盖。

( 6)致密性

(魏尔斯特拉斯)定理:有界数列必有收敛子数列。

(7)柯西收敛定理:在实数系中,数列{ xn }有极限存在的充分必要条件是: P Š > 0, vN,当 n >N, m

>N时,有 | xn - xm | < Še

二、致密性定理的不同证明方法

1. 用确界原理证明致密性定理

2. 用区间套定理证明致密性定理

3. 用有限覆盖定理证明致密性定理

4. 用柯西收敛准则证明致密性定理