请输入您要查询的百科知识:

 

词条 韦达定理
释义

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

介绍

英文名称:Vieta's formulas

韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中,两根X1,X2有如下关系:X1+X2=-b/a,X1*X2=c/a

韦达简介

他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年轻时学习法律当过律师,后从事政治活动,当过议会的议员,在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究,第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。韦达最重要的贡献是对代数学的推进,他最早系统地引入代数符号,推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号,用字母代替未知数,系统阐述并改良了三、四次方程的解法,指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。

韦达从事数学研究只是出于爱好,然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》(1579年)是韦达最早的数学专著之一,可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术",初步讨论了正弦,余弦,正切弦的一般公式,首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程,具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。

他的《解析方法入门》一书(1591年),集中了他以前在代数方面的大成,使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法。

代数著作

《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作,也是最早的符号代数专著,书中第1章应用了两种希腊文献:帕波斯的《数学文集》第7篇和丢番图著作中的解题步骤结合起来,认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧,并自信希腊数学家已经应用了这种分析术,他只不过将这种分析方法重新组织。韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想,试图创立一般的符号代数。他引入字母来表示量,用辅音字母B,C,D等表示已知量,用元音字母A(后来用过N)等表示未知量x,而用A quadratus,A cubus 表示 x2、x3 ,并将这种代数称为本“类的运算”以此区别于用来确定数目的“数的运算”。当韦达提出类的运算与数的运算的区别时,就已规定了代数与算术的分界。这样,代数就成为研究一般的类和方程的学问,这种革新被认为是数学史上的重要进步,它为代数学的发展开辟了道路,因此韦达被西方称为"代数学之父"。1593年,韦达又出版了另一部代数学专著—《分析五篇》(5卷,约1591年完成);《论方程的识别与订正》是韦达逝世后由他的朋友A.安德森在巴黎出版的,但早在 1591年业已完成。其中得到一系列有关方程变换的公式,给出了G.卡尔达诺三次方程和L.费拉里四次方程解法改进后的求解公式。而另一成就是记载了著名的韦达定理,即方程的根与系数的关系式。韦达还探讨了代数方程数值解的问题,1600年以《幂的数值解法》为题出版。

1593年韦达在《分析五篇》中曾说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解。同年他的《几何补篇》(Supplementum geometriae)在图尔出版了,其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识。此外,韦达最早明确给出有关圆周率π值的无穷运算式,而且创造了一套 10进分数表示法,促进了记数法的改革。之后,韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承,发展成为解析几何学。韦达从某个方面讲,又是几何学方面的权威,他通过393415个边的多边形计算出圆周率,精确到小数点后9位,在相当长的时间里处于世界领先地位。

主要贡献

韦达最重要的贡献是对代数学的推进,他最早系统地引入代数符号,推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号,用字母代替未知数,系统阐述并改良了三、四次方程的解法,指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。

由于韦达做出了许多重要贡献,后成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。

内容

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中,设两个根为x1,x2 则

X1+X2= -b/a

X1*X2=c/a

用韦达定理判断方程的根

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中,

若b^2-4ac<0 则方程没有实数根

若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根

推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个一元n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1,X2…,Xn

我们有右图等式组

其中∑是求和,Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是,那么

由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

(x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a|

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

证明及结论

由一元二次方程求根公式为:X = (-b±√b^2-4ac)/2a

(注意:a指二次项系数,b指一次项系数,c指常数)

可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ,X2= (-b-√b^2-4ac)/2a

1. X1﹢X2=(-b+√b^2-4ac)/2a+(-b-√b^2-4ac)/2a

所以X1﹢X2=-b/a

2. X1X2= [(-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[(-b-√b^2-4ac﹚÷2a]

所以X1X2=c/a

(补充:X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2

(扩充)3.X1-X2=(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a

又因为X1.X2的值可以互换,所以则有

X1-X2=±【(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a】

所以X1-X2=±(√b^2-4ac)/a

韦达定理推广的证明

设X?,X?,……,xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。

则有:An(x-x?)(x-x?)……(x-xn)=0

所以:An(x-x?)(x-x?)……(x-xn)=∑AiXi (在打开(x-x?)(x-x?)……(x-xn)时最好用乘法原理)

通过系数对比可得:

A(n-1)=-An(∑xi)

A(n-2)=An(∑xixj)

A0=[(-1) ]×An×ΠXi

所以:∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)

∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)

ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)

其中∑是求和,Π是求积。

例题

例1已知p+q=198,求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解:设方程的两整数根为x1、x2,不妨设x1≤x2.由韦达定理,得

x1+x2=-p,x1x2=q.

于是x1·x2-(x1+x2)=p+q=198,

即x1·x2-x1-x2+1=199.

∴运用提取公因式法(x1-1)·(x2-1)=199.

注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数,

解得x1=2,x2=200;x1=-198,x2=0.

例2已知关于x的方程x^2-(12-m)x+m-1=0的两个根都是正整数,求m的值.

解:设方程的两个正整数根为x1、x2,且不妨设x1≤x2.由韦达定理得

x1+x2=12-m,x1x2=m-1.

于是x1x2+x1+x2=11,

即(x1+1)( x2+1)=12.

∵x1、x2为正整数,

解得x1=1,x2=5;x1=2,x2=3.

故有m=6或7.

例3求实数k,使得方程kx^2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.

解:若k=0,得x=1,即k=0符合要求.

若k≠0,设二次方程的两个整数根为x1、x2,且X1≤X2,由韦达定理得

∴x1x2-X1-x2=2,

(x1-1)( x2-1)=3.

因为x1-1、x2-1均为整数,

所以X1=2,X2=4;X1=—2,X2=0.

所以k=1,或k=-1/7

例4已知二次函数y=-x&sup2;+px+q的图像与x轴交于(α,0)、(β,0)两点,且α>1>β,求证:p+q>1. (97四川省初中数学竞赛试题)

证明:由题意,可知方程-x&sup2;+px+q=0的两根为α、β.

由韦达定理得 α+β=p,αβ=-q.

于是p+q=α+β-αβ,

=-(αβ-α-β+1)+1

=-(α-1)(β-1)+1>1(因α>1>β).

随便看

 

百科全书收录4421916条中文百科知识,基本涵盖了大多数领域的百科知识,是一部内容开放、自由的电子版百科全书。

 

Copyright © 2004-2023 Cnenc.net All Rights Reserved
更新时间:2024/12/23 14:34:10