| 词条 | 完全数 |
| 释义 | 完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。 概念定义各个真约数的和等于它本身的自然数叫做完全数（Perfect number），又称完美数或完备数。（列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数） 举例例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。后面的完全数还有496、8128等等。 相关概念对于“4”这个数，它的真约数有1、2，其和是3，比4本身小，像这样的自然数叫做亏数。对于“12”这个数，它的真约数有1、2、3、4、6，其和是16，比12本身大，像这样的自然数叫做盈数。所以，完全数就是既不盈余，也不亏欠的自然数。 性质完全数有许多有趣的性质：1、它们都能写成连续自然数之和（三角形数） 例如： 6=1+2+3 28=1+2+3+4+5+6+7 496=1+2+3+……+30+31 2、每个都是调和数它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数。例如： 1/1+1/2+1/3+1/6=2 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2 3、可以表示成连续奇立方数之和除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和。例如： 28=1^3+3^3 496=1^3+3^3+5^3+7^3 8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3 33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3 4、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和例如： 6=2^1+2^2 28=2^2+2^3+2^4 8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12 33550336=2^12+2^13+……+2^24 5、完全数都是以6或8结尾如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。 6、各位数字相加直到变成个位数则一定是1除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。（亦即：除6以外的完全数，被9除都余1） 28：2+8=10，1+0=1 496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1 历史公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们的存在了。有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。 完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样，正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴上，接近一万，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。 疑难问题1、到底有多少完全数？ 寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到目前为止，一共找到了47个完全数。 2、有没有奇完全数？ 奇怪的是，已发现的47个完全数都是偶数，会不会有奇完全数存在呢？如果存在，它必须大于10^300。 至今无人能回答这些问题。 尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素数。在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。 完全数公式大数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式：如果p是质数，且2^p-1也是质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。 例如p=2，是一个质数，2^p-1=3也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=3X2=6，是完全数。 例如p=3，是一个质数，2^p-1=7也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=7X4=28，是完全数。 但是2^p-1什么条件下才是质数呢? 事实上，当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数。至今，人类只发现了47个梅森素数，也就是只发现了47个完全数。 完全数判断PASCAL程序 判断 A~ B 区域内的完全数为 program wanquanshu; var i,a,b:longint; function wanquanshu(i:longint):boolean; var sum,k:longint; begin sum:=1; for k:= 2 to i div 2 do if i mod k=0 then sum:=sum+k; if i=sum then wanquanshu:= true else wanquanshu:=false; end; begin repeat readln(a,b); until (a>0) and (b>0) and (b>a); for i:= a to b do if wanquanshu(i) then writeln(i); end. 【利用VB编程求10000以内完全数】 Dim a as Integer,b as Integer,c as Integer For a = 1 To 10000 c = 0 For b = 1 To a \\ 2 If a Mod b = 0 Then c = c + b Next b If a = c Then Print Str(a) Next a 【利用C语言编程求1000以内完全数】 main() { int i,j,sum; for(i=2;i<1000;i++) { sum=0; for(j=1;j<=i/2;j++) {if(i%j==0) sum=sum+j;} if(sum==i) printf("%4d",i); } } 【利用java语言编程求1000以内完全数】 public class PerfectNumber { public static void main(String[] args){ int i,j,sum; for(i=2;i<1000;i++){ sum=0; for(j=1;j<=i/2;j++){ if(i%j==0) sum=sum+j; } if(sum==i) System.out.println(i); } } } 【利用python语言编程求N以内完全数】 def perfect(N): """各个真约数的和等于它本身的自然数叫做完全数（Perfect number），又称完美数或完备数。 """ perfectNumber=[] for i in range(5,N): sum1 = 0 for j in range(1, i//2+1): if i%j == 0: sum1 += j if sum1 == i: perfectNumber.append(i) return perfectNumber 梅森素数和完全数表由完全数公式可知，完全数和梅森素数存在对应关系，因此列出梅森素数表，就可以得出完全数表。 梅森素数表 序号 p (2^p-1)的位数 发现时间 发现者 (reference) 1、 2 1 （无从考究） （无从考究） 2、 3 1 （无从考究） （无从考究） 3、 5 2 （无从考究） （无从考究） 4、 7 3 （无从考究） （无从考究） 5、 13 4 1461 Reguis(1536)、Cataldi(1603) 6、 17 6 1588 Cataldi (1603) 7、19 6 1588 Cataldi (1603) 8、31 10 1750 Euler (1772) 9、61 19 1883 Pervouchine (1883)、Seelhoff (1886) 10、89 27 1911 Powers (1911) 11、107 33 1913 Powers (1914) 12、127 39 1876 Lucas (1876) 13、521 157 Jan. 30, 1952 Robinson (1954) 14、607 183 Jan. 30, 1952 Robinson (1954) 15、1279 386 Jun. 25, 1952 Robinson (1954) 16、2203 664 Oct. 7, 1952 Robinson (1954) 17、2281 687 Oct. 9, 1952 Robinson (1954) 18、3217 969 Sep. 8, 1957 Riesel 19、4253 1281 Nov. 3, 1961 Hurwitz 20、4423 1332 Nov. 3, 1961 Hurwitz 21、9689 2917 May. 11, 1963 Gillies (1964) 22、9941 2993 May. 16, 1963 Gillies (1964) 23、11213 3376 Jun. 2, 1963 Gillies (1964) 24、19937 6002 Mar. 4, 1971 Tuckerman (1971) 25、21701 6533 Oct. 30, 1978 Noll and Nickel (1980) 26、23209 6987 Feb. 9, 1979 Noll (Noll and Nickel 1980) 27、44497 13395 Apr. 8, 1979 Nelson and Slowinski 28、86243 25962 Sep. 25, 1982 Slowinski 29、110503 33265 Jan. 28, 1988 Colquitt and Welsh (1991) 30、132049 39751 Sep. 20, 1983 Slowinski 31、216091 65050 Sep. 6, 1985 Slowinski 32、756839 227832 Feb. 19, 1992 Slowinski and Gage 33、859433 258716 Jan. 10, 1994 Slowinski and Gage 34、1257787 378632 Sep. 3, 1996 Slowinski and Gage 35、1398269 420921 Nov. 12, 1996 Joel Armengaud/GIMPS 36、2976221 895832 Aug. 24, 1997 Gordon Spence/GIMPS 37、3021377 909526 Jan. 27, 1998 Roland Clarkson/GIMPS 38、6972593 2098960 Jun. 1, 1999 Nayan Hajratwala/GIMPS 39、13466917 4053946 Nov. 14, 2001 Michael Cameron/GIMPS 40、20996011 6320430 Nov. 17, 2003 Michael Shafer/GIMPS 41、24036583 7235733 May. 15, 2004 Josh Findley/GIMPS 42、25964951 7816230 Feb. 18, 2005 Martin Nowak/GIMPS 43、30402457 9152052 Dec. 15, 2005 Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS 44、32582657 9808358 Sep. 4, 2006 Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS 45、37156667 11185272 Aug. 23, 2008 Edson Smith/GIMPS 46、43112609 12978189 Sep. 6, 2008 Hans-Michael Elvenich/GIMPS 47、42643801 12837064 2009 前12个完全数 1……6 2……28 3……496 4……8,128 5……33,550,336 6……8,589,869,056 7……137,438,691,328 8……2,305,843,008,139,952,128 9……2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176 10……191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,130,997,321,548,169,216 11……13,164,036,458,569,648,337,239,753,460,458,722,910,223,472,318,386,943,117,783,728,128 12……14,474,011,154,664,524,427,946,373,126,085,988,481,573,677,491,474,835,889,066,354,349,131,199,152,128 …… …… 47（目前所可以表示的最大完全数）……2^42643800 X (2^42643801-1) 由于后面数字位数较多，例子只列到12个，第13个有314位。 到第39个完全数有25674127位数，据估计它以四号字打出时需要一本字典大小的书。 |
| 随便看 |
百科全书收录4421916条中文百科知识，基本涵盖了大多数领域的百科知识，是一部内容开放、自由的电子版百科全书。