完全弹性碰撞（Perfect Elastic Collision） 在理想情况下，完全弹性碰撞的物理过程满足动量守恒和能量守恒。如果两个碰撞小球的质量相等，联立动量守恒和能量守恒方程时可解得：两个小球碰撞后交换速度。如果被碰撞的小球原来静止，则碰撞后该小球具有了与碰撞小球一样大小的速度，而碰撞小球则停止。多个小球碰撞时可以进行类似的分析。事实上，由于小球间的碰撞并非理想的弹性碰撞，还会有能量的损失，所以最后小球还是要停下来。

解释(碰撞特点 过程分析 碰撞分类)

例题(一、两和相等 二、偷梁换柱 三、前赴后继 四、勇往直前 五、我行我素 六、反向弹回 七、蚍蜉撼树)

解释

碰撞，一般是指两个或两个以上物体在运动中相互靠近，或发生接触时，在相对较短的时间内发生强烈相互作用的过程。

碰撞会使两个物体或其中的一个物体的运动状态发生明显的变化。

碰撞特点

1）碰撞时间极短

2）碰撞力很大，外力可以忽略不计，系统动量守恒

3）速度要发生有限的改变，位移在碰撞前后可以忽略不计

过程分析

讨论两个球的碰撞过程。碰撞过程可分为两个过程。开始碰撞时，两球相互挤压，发生形变，由形变产生的弹性恢复力使两球的速度发生变化，直到两球的速度变得相等为止。这时形变得到最大。这是碰撞的第一阶段，称为压缩阶段。此后，由于形变仍然存在，弹性恢复力继续作用，使两球速度改变而有相互脱离接触的趋势，两球压缩逐渐减小，直到两球脱离接触时为止。这是碰撞的第二阶段，称为恢复阶段。整个碰撞过程到此结束。

碰撞分类

根据碰撞过程能量是否守恒分为

1）完全弹性碰撞：碰撞前后系统动能守恒（能完全恢复原状）；

2）非弹性碰撞：碰撞前后系统动能不守恒（部分恢复原状）；

3）完全非弹性碰撞：碰撞后系统以相同的速度运动（完全不能恢复原状）。

一.完全弹性碰撞：能量守恒，动量守恒。

若两质量为m1,m2的物体，以初速度为v10,v20发生碰撞，设碰撞后的速度各为v1,v2。

则根据：m1v10+m2v20 = m1v1+m2v2

1/2 m1v10^2 + 1/2 m2v20^2 = 1/2 m1v1^2+ 1/2m2v2^2

易证得：v1 = [(m1-m2)v10 + 2m2v20] / (m1+m2)

v2 = [(m2-m1)v20 + 2m1v10] / (m1+m2)

二非弹性碰撞：必须满足三个约束：1）动量约束：即碰撞前后动量守恒

2）能量约束：即碰撞前后系统能量不增加

3）运动约束：即碰撞前若A物体向右碰撞B物体，那么碰撞后A物体向右

的速度不可超越B物体。

例题

完全弹性碰撞妙趣横生、耐人寻味，是很特殊的一类碰撞。现拟从七个方面入手，通过一些经典的实例和身边的现象，仔细“品味”完全弹性碰撞，以期激发学生学习物理的兴趣。

如果主碰球的质量为，被碰球的质量为，根据动量守恒和机械能守恒：

解得。

一、两和相等

【这个结论再没有其它任何条件，适用范围最广。】

二、偷梁换柱

（1）结论推导：若，则，。（交换速度）（2）典型示例：如图1所示，在光滑的水平面上有一辆长为的小车A，在A上有一木块B（大小不计），A与B的质量相等，B与A的动摩擦因数为。开始时A是静止的，B位于A的正中以初速度向右运动，假设B与A的前后两壁碰撞是完全弹性的，求B与A的前后两个墙壁最多能相碰多少次？

解析：先是B在摩擦力的作用下减速，A在摩擦力的作用下加速。地面是光滑的，系统动量守恒，B与A的前壁发生完全弹性碰撞，且质量相等，因此A与B交换速度。此后，B将加速，A将减速，B又与A的后壁发生完全弹性碰撞交换速度。就这样不停地减速，间断地交换，最终达到相等的速度，相对运动宣告结束。

，解得。

再根据系统的动能定理，，解得。

在滑动摩擦力中，是相对路程，所以最多能相碰次。

（3）现象链接：如图2所示，质量相等的两个刚性小球，摆角不相等，同时由静止自由释放，各自将会在自己的半面振动，但是角度不停地周期性变化，对于左面的小球角度的变化是：，右面的小球角度的变化是：。妙趣横生。

三、前赴后继

（1）结论推导：若，且，则，。（传递速度）

（2）一题多变：在图1中，如果B与A之间光滑，B与地面之间的动摩擦因数为，其它条件不变，求B与A的前后两个墙壁最多能相碰多少次？

解析：先是B在A上无摩擦的滑动，与A的前壁发生短暂的完全弹性碰撞，可以看作动量守恒，由于A与B质量相等，所以它们传递速度，B便停下来，A在此速度的基础上开始减速，接着B与A的后壁又发生完全弹性碰撞传递速度，B又匀速运动，A又停止。就这样二者交换，走走停停，最终系统都停下来。

根据系统的动能定理：，解得。

则B与A的前后两个墙壁最多能相碰次。

点评：虽然情景相似，但略作变化，结果就大相径庭。

（3）现象链接：

①（英国皇家学会的一个很著名的实验）它是在天花板上悬挂好多相等摆长的双线摆，当第一个小球摆下以后，这个速度一直就会传递到最后一个小球，最后一个小球也就摆到原来的高度，这样一直往复运动下去，中间的双线摆不运动，起到传递速度的作用。如图3所示。

②（台球）这在台球运动中是经常见到的现象。

（4）经典回顾：（93年全国高考题）如图4所示，A、B是位于水平桌面上的两个质量相等的小木块，离墙壁的距离分别为和，与桌面之间的动摩擦因数分别为和，今给A以某一初速度，使之从桌面的右端向左运动，假定A、B之间，B与墙壁之间的碰撞时间极短，且碰撞中总动能无损失，若要使木块A最后不从桌面上掉下来，则A的初速度最大不能超过多少？

解析：物理情景是这样的，三次碰撞均为完全弹性碰撞：A碰B（前赴后继），B碰墙（蚍蜉撼树），B碰A。三段减速运动：A至B，B往返至A，A减速恰至桌面边缘。

根据质点组的动能定理，

，

解得，。

点评：本题也可以分段列式解答。

四、勇往直前

（1）结论推导：若，且，则，，。

（2）典型示例：（验证动量守恒定律的实验）为了避免入射小球被反向弹回，入射小球的质量必须大于被碰小球的质量，原因就在于此。如图5所示。

（3）现象链接：一个大人跑步时一不小心碰到一个小孩的身上，小孩很容易被碰倒，就是这个道理。

（4）习题精练：如图6所示，在光滑水平面上静止着质量为的物体B，B的一端固连着一根轻质弹簧，质量为的物体A，以的速度冲向B并与之发生正碰，求当弹簧重新回复原长时两物体的速度各为几何？

解析：弹簧被压缩到回复原长的过程，是弹性势能储存并完全释放的过程，动能守恒，发生了完全弹性碰撞，，“勇往直前”，把数据代入篇首的结论，解得：

点评：这个答案可以用第一点“两和相等”的结论验证，。

五、我行我素

（1）结论推导：若，且，则，。

（2）典型示例：（粒子散射实验）在这个实验中，首先得排除粒子大角度散射不是电子造成的，课本上为了说明这一点，用了这样一个比喻：粒子遇到电子就像高速飞行着的子弹遇到一粒尘埃一样。这个现象可以用以上结论很好的解释了。

（3）现象链接：铅球碰撞乒乓球就是这种现象。

（4）习题精练：见第七点“蚍蜉撼树”。

六、反向弹回

（1）结论推导：若，且，则，。

（2）典型示例： 有光滑圆弧轨道的小车质量为，静止在光滑水平地面上，圆弧下端水平，有一质量为的小球以水平初速度滚上小车，如图7所示。求小球又滚下和小车分离时二者的速度？

解析：由于满足动量守恒和动能守恒，所以小球在光滑圆弧上的运动，可以看作是完全弹性碰撞，所以小球的分离可以看作是反向弹回。把数据代入篇首的结论，则

小球的速度：，

小车的速度：。

（3）现象链接：（篮球运动）在篮下，质量小的运动员经常被碰回，这是司空见惯的。

（4）习题精练：如图8所示，半径为的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为、（为待定系数），A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道开始下滑，与静止于轨道最低点的B球相碰，碰撞后A、B能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失，重力加速度为。试求：（1）待定系数；（2）第一次碰撞刚刚结束时小球A、B各自的速度。

解析：（1）由于圆环内侧光滑，又碰撞是完全弹性碰撞，所以系统机械能守恒，

，得。

（2）小球A滚下，在最低点的动能是：，解得；

接着与B球发生完全弹性碰撞，被反向弹回，把数据代入篇首的结论，则第一次碰撞刚刚结束时小球A的速度为：，

小球B的速度为：。

点评：

①本题也可以倒过来计算，碰撞之后A、B分别向两侧滑上圆环，机械能守恒

A．； B．。

②在反向弹回的情况下，如果，碰撞之后二者速率相等。

七、蚍蜉撼树

（1）结论推导：若，且，则，。

（2）典型示例：（乒乓球碰撞墙壁）乒乓球碰倒墙壁以后被反向弹回，它的动量发生了二倍的改变，即。如图9所示。

（3）现象链接：（气体分子碰撞器壁）气体分子频繁地碰撞器壁，给器壁产生一个持续的恒定的压力。而每个分子都被反向弹回。

（4）习题精练：网球拍以速率击中以速率飞来的网球，被击回的网球的最大速率是多少？（以上所有的速率都是指相对于地面的速率）

解析：最大速率是发生在一条直线上的完全弹性碰撞，设球拍质量为，网球质量为，满足。

解法一：若球拍静止，根据以上第七点“蚍蜉撼树”的结论，网球被反向弹回，速率不变。若网球静止，根据以上第五点“我行我素”的结论，网球将以的速率飞出。

综合以上两点，被击回的网球的最大速率为：。

解法二：若以球拍为参照系，则网球相对于球拍的速率为，碰撞后以相对速率反向弹回。

再以地面为参照系，球拍相对于地面的速率为，与网球相对于球拍离去速度同向，所以网球对地的速度是：。

解法三：球拍击球前后速度几乎不变，即保持不变，根据第一点“两和相等”得，，因此。

总之，从方方面面“品味”完全弹性碰撞，对掌握其它类型的碰撞是大有裨益的。