《拓扑线性空间》是一部由武汉大学出版社出版的图书。

基本信息

内容简介

图书目录(第一章 拓扑线性空间 第二章 拓扑线性空间上的算子与泛函 第三章 局部凸空间的共轭理论 第四章 广义函数 第五章 Banach代数 第六章 算子谱论与算子半群)

图书前言

基本信息

作者：刘培德

丛书名： 面向21世纪研究生教材

出版社：武汉大学出版社

ISBN：7307035529上架时间：2004-3-10

出版日期：2002 年9月

开本：32开

页码：287

版次：1-1

内容简介

本书讲述拓扑线性空间的一般理论和它们的某些应用。全书由六章和两个附录组成。前面三章叙述拓扑线性空间的基本理论。

第一章包括拓扑线性空间的基本属性，局部墓的构造，局部凸空间的特征。第二章是在拓扑线性空间框架下的共鸣定理、开映射定理、闭图像定理以及线性泛函的Hahn-Banach延拓定理等。第三章讲解局部凸空间的共轭理论。后面三章分别讲述广义函数、Banah代数以及算子谱论和算子半群。附录一叙述了关于集合论的几个公理，附录二集中地阐述了本书用到的点集拓扑方面的基本知识。

本书是为数学学科各专业研究生编写的教材，也可以作为相关教师或数学工作者进一步学习泛函分析知识的参考书。

图书目录

前 言

第一章 拓扑线性空间

1．1 线性空间

1．2 拓扑线性空间的局部基

1．3 有界性 可度量化 完备性

1．4 局部凸空间

1．5 有限维空间 积空间 商空间

1．6 若干例子

习题一

第二章 拓扑线性空间上的算子与泛函

2．1 一致有界原理及其应用

2．2 开映射与闭图像定理

2．3 Hahn-Banach延拓定理

2．4 凸集的隔离定理

习题二

第三章 局部凸空间的共轭理论

3．1 弱拓扑

3．2 弱·拓扑

3．3 Banach空间的共轭 自反性

3．4 共轭算子 紧算子

3．5 紧凸集的端点表现和不动点性质

习题三

第四章 广义函数

4．1 测试函数空间及其拓扑

4．2 广义函数的运算

4．3 Sobolev空间

习题四

第五章 Banach代数

5．1 代数与同态映射

5．2 Gelfand表现

5．3 C*代数

习题五

第六章 算子谱论与算子半群

6．1 Hilbert空间上的有界算子

6．2 闭稠定算子

6．3 有界与无界算子的谱分解

6．4 算子半群

6．5 Markov过程 遍历定理

习题六

附录一 关子集合论的若干公理

附录二 点集拓扑知识提要

名词索引

参考文献

图书前言

本书讲述拓扑线性空间特别是局部凸空间的一般理论和它们的某些应用，是为基础数学、概率统计以及计算数学、应用数学等专业研究生撰写的教材。

简单地说，拓扑线性空间是一类其线性结构与最一般的拓扑结构有机结合起来的集合。有关拓扑线性空间的理论就是研究这种拓扑代数结构以及把它们应用于分析问题的方法。拓扑线性空间理论作为泛函分析学科的一个分支产生于20世纪40～50年代。在这段时期以前，人们集中地研究了度量空间上的类似结构，这主要是Hilbert空间和Banach空间以及这些空间上的算子。从Hilbert空间和Banach空间的研究转到拓扑线性空间的研究是泛函分析发展史上里程碑式的进展。无论如何，拓扑线性空间至今仍然是现代数学乃至自然科学中与之有关的各种问题和理论讨论或阐述的最广泛的框架。

历史的回顾可以帮助我们理解这一进展的意义。泛函分析萌发于从19世纪向20世纪转折的时期，最早的工作是由Volterra，Fredholm，Hilbert以及Riese，Fischer等人做出的，他们的研究最终导致了Hilbert空间的建立。这些工作还紧密地联系着经典数学物理中的实际问题，一批优秀的数学家开始认识到数学问题的抽象表述与抽象空间理论的威力与意义。接下来借助于Lebesque积分，Riese等人研究了一般赋范空间。两次世界大战之间Banach空间理论得到蓬勃发展，以至于泛函分析成为一门独立的学科。这一时期量子力学、抽象代数与泛函分析的发展使人们的思想异常活跃，von Neumann开创了算子谱理论，并且把量子力学的基础建立在泛函分析之上；20世纪30年代末Gelfand等发展了赋范环论(Banach代数)，创立了抽象群上的调和分析；与此同时，泛函分析的思想方法被广泛应用于微分方程、积分方程、三角级数等研究领域。

尽管Banach空间概括了相当广泛的客观对象，理论的发展和解决实际问题的需要逐渐显示出赋范结构不敷应用。这样的例子不是个别的而是系统性的。首先是微分方程、调和分析中出现的某些函数不能纳入这种框架，它使得有关理论的发展受到局限。就泛函分析自身而言，带有弱拓扑的赋范空间的共轭一般不再是赋范空间，这使得研究范围更广泛的空间成为必要。此外在生产领域，如电力工程计算中出现的 函数是一种"怪函数"，已有的事实既要求人们极大地扩展函数类型以便涵盖它们，又要保持优越的函数性能(无穷次可微，方便的极限运算等)以便付诸应用，这无疑是对人类智力的一大挑战。在此基础上产生了广义函数和广义函数理论，这类函数也不具有范数结构，但它却是具有广泛应用价值的函数类。

事实上，20世纪30年代Sobolev在处理微分方程的解时就曾有过类似于广义函数的思想，但并没有形成体系。20世纪40年代Schwartz等将共轭理论推广到局部凸空间，建立了广义函数论。40年代中期以后Bourbaki学派系统地发展了局部凸拓扑线性空间的理论。由Schwartz在1950～1951年出版的专著《分布论》("分布"即广义函数)是局部凸空间理论成熟的标志。这一理论的建立不仅涵盖了以往所研究的基本对象，扩展了泛函分析学科的基础，而且为偏微分方程理论、随机过程理论、抽象调和分析、群表示论、控制论、理论物理以及工程技术等学科和技术领域带来更广泛的应用。

本书共由六章和两个附录组成。大致说来，前面三章叙述拓扑线性空间的一般理论。第一章包括拓扑线性空间的基本属性，它的局部基的构造，凸集和有界集的性质，可度量化以及局部凸空间的特征。第二章是在拓扑线性空间框架下有关算子与泛函的几个最具重要性的基本定理，包括共鸣定理、开映射定理、闭图像定理以及线性泛函的Hahn-Banach延拓定理、隔离定理等，有关结果与赋范空间有很强的可类比性。第三章讲解局部凸空间的共轭理论，主要是局部凸空间的弱拓扑与共轭空间的弱*拓扑以及紧算子的某些问题，Banach空间的自反性、子集的弱紧性以及紧凸集的端点性质、不动点性质等。后面三章我们选取几个特殊的领域加以讲解，它们是广义函数、Banach代数以及算子谱论和算子半群。与多种学科广泛的联系是泛函分析的一大特色，一些学科分支在泛函分析的发展中起到了很大的推进作用，另一些学科则借助于泛函分析的思想和方法得到长足的发展。时至今日，这种渗透和交叉不胜枚举，以至于难以分辨孰为泛函孰非泛函。书中以简短的篇幅选取基础内容加以介绍，以便有一个基本的了解。此外，附录一罗列了关于集合论的几个公理，附录二集中地阐述了本书用到的一些点集拓扑方面的基本知识。

为了提供更大范围的知识和工具，本书对于少数定理只是介绍而不加证明。一般来说这些定理还是十分重要的和著名的，例如Riese关于连续函数空间上线性泛函的一般表现定理，关于端点的Choquet表现定理，赋范空间的Eberlein-Smulian定理等。作者认为掌握这些结论无论对于理论研究还是应用都会受益匪浅。但是这些定理的证明有的需要更多的基础知识，有的将占用较多的篇幅，本书只得割爱。有兴趣的读者可参考有关书籍或文献。

泛函分析作为一门课程近年来在我国理工科高等教育中越来越受到重视，许多院校都给本科大学生开设了这门课程。与此同时，很多院校也选取泛函分析更深入的内容作为研究生的必修课或选修课。这种发展的势头有增无减。我们现在主张拓宽基础、扩大视野，对于研究生要求有坚实的基础知识和宽广的专业知识。实际土，学好一些涉及面广，有一定深度，数学思想与方法密集的课程，对于达到上述目的，提高数学素养，培养独立科研能力无疑是大有益处的。

从1982年开始，我们在武汉大学数学与统计学院坚持把泛函分析作为研究生公共基础课，其主体内容是拓扑线性空间。我们一开始就选用了国外原版教材授课，并吸取了国内优秀教材的长处。在讲授过程中，根据具体情况以及学时安排，对内容做了取舍和调整。本书内容曾多次给基础数学、概率统计等专业研究生讲授，引起研究生们广泛的兴趣，同时经常有青年教师和访问学者参加听课。本教材就是在此基础上产生的。实践证明，对于学过实变函数、点集拓扑以及知道少许度量空间上泛函分析知识的学生学习这门课程是没有太大困难的。另一方面，以本书作为教材的授课教师还可以针对学员情况对内容进行必要的选择。

这次武汉大学研究生院决定出版研究生教材丛书，并选定本教材作为丛书之一，作者对于研究生院的组织领导工作以及对本书出版的资助表示感谢!同时，对于出版社为本书出版所做的细致工作，对在听课过程中给予热诚支持和提出宝贵意见的教师与研究生表示由衷的谢忱!

限于作者水平，本书取材及内容讲解会有不少问题，诚望读者批评指正，以待进一步修改完善。