简介

概述

分支学科

拓补问题

纽结问题

简介

拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语“Τοπολογία”的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。

概述

数学中一个重要的、基础的分支。起初它是几何学的一支,研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合);现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支.在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在前者已演化成一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓扑学、几何拓扑学等分支。拓扑学主要是由于分析学和几何学的需要而发展起来的,它自30年代以来的大发展,尤其是它的成果与方法对于数学的各个领域的不断渗透，是20世纪理论数学发展中的一个明显特征。

分支学科

点集拓扑学又称为一般拓扑学

代数拓扑学

微分拓扑学

几何拓扑学

拓扑学的主要应用是在分子生物学中。当谈到脱氧核糖核酸的三级结构，就必然会谈到所谓的“超螺旋结构”。这种超螺旋结构可以解释为：发生螺旋缠绕的螺旋结构，换句话说，就是一个螺旋结构再一次进行螺旋缠绕。脱氧核糖核酸原本就是双股螺旋，而这双股螺旋又会再进一步进行螺旋缠绕，形成所谓的超螺旋结构。

拓扑学就是用来研究超螺旋结构的一种工具。拓扑学主要探讨的是在连续性变化中（比如因为温度改变而发生构型改变时，或因为与蛋白质作用而发生交互作用时）的变形现象。拓扑性质不包含非连续性变化时产生的变形作用（双股螺旋被剪开时的状况）。对于去氧核糖核酸而言，那些当没有打断股链时，不受变形现象而改变的性质就叫拓扑性质。拓扑性质的改变只受到打断股链或将股链粘合的影响。

拓补问题

拓扑问题的一些初等例子（右图上下左右对折以后就是一个轮胎形状，有7个区域两两相连。国外数学家给出）

柯尼斯堡的七桥问题（一笔画问题）　柯尼斯堡是东普鲁士首府，普莱格尔河横贯其中，上有七座桥（见图论）。一个散步者怎样才能走遍七座桥而每座桥只经过一次？这个18世纪的智力游戏，被L.欧拉简化为用细线画出的网络能否一笔画出的问题，然后他证明这是根本办不到的。一个网络之能否一笔画出，与线条的长短曲直无关，只决定于其中的点与线的连接方式。设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的，在它被弯曲、拉伸后，能否一笔画出的性质是不会改变的。欧拉的多面体公式与曲面的分类　欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数 E、面数F之间总有:V-E+F=2这个关系。从这个公式可以证明正多面体只有五种（见正多面体）。值得注意的是，如果多面体不是凸的而呈框形（图1凸形与框形）,也不管框的形状如何，总有□。这说明，凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，通俗的说法是框形里有个洞。　连续变形下，凸体的表面可以变为球面，框的表面可以变为环面（轮胎面）。这两者却不能通过连续变形互变。在连续变形下封闭曲面有多少种不同类型？怎样鉴别它们？这曾是19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题。把曲面变形成多面体后的欧拉数□-□+□在其中起着关键的作用（见闭曲面的分类）。四色问题　在平面或球面上绘制地图，有公共边界线的区域用不同的颜色加以区别。19世纪中期，人们从经验猜想用四种颜色就足以给所有的地图上色。证明这个猜想的尝试，却延续了100多年,到1976年才出现了一个借助于计算机的证明。如果不是在平面上而是在轮胎面上画地图，四色就不够了，要七色才够。用橡皮做一个曲面模型，然后随意扭曲，弄得山峦起伏，这对其上的地图着色毫无影响，所以这颜色数也是曲面在连续变形下不变的性质。右图是一个有2个洞的曲面，需要8种颜色（8个区域两两相连，王晓明王蕊珂用了9年给出）。

纽结问题

空间中一条自身不相交的封闭曲线，会发生打结现象。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈）,或者问两个结能否互变（例如，图2圆圈与三叶结中的两个三叶结能否互变），并且不只做个模型试试，还要给出证明，那就远不是件容易的事了（见纽结理论）。

维数问题　什么是曲线？朴素的观念是点动成线，随一个参数（时间）连续变化的动点所描出的轨迹就是曲线。可是，G.皮亚诺在1890年竟造出一条这样的“曲线”，它填满整个正方形！这激发了关于维数概念的深入探讨，经过20～30年才取得关键性的突破（见维数）。　布线问题（嵌入问题）　一个复杂的网络能否布在平面上而不自相交叉？做印刷电路时自然会碰到这个问题。图3可嵌入网络中左面的图把一根对角线移到方形外面就可以布在平面上,但图4不可嵌入网络两个图却无论怎样挪动都不能布在平面上。1930年K.库拉托夫斯基证明，一个网络是否能嵌入平面，就看其中是否不含有这两个图之一。　向量场问题　考虑光滑曲面上的连续的切向量场，即在曲面的每一点放一个与曲面相切的向量，并且其分布是连续的。其中向量等于0的地方叫作奇点。例如,地球表面上每点的风速向量就组成一个随时间变化的切向量场,而奇点就是当时没风的地方。从直观经验看出,球面上的连续切向量场一定有奇点，而环面上却可以造出没有奇点的向量场。

进一步分析，每个奇点有一个“指数”，即当动点绕它一周时,动点处的向量转的圈数；此指数有正负,视动点绕行方向与向量转动方向相同或相反而定(图5向量场齐点的指数)。庞加莱发现，球面上切向量场,只要奇点个数是有限的，这些奇点的指数的代数和（正负要相消）恒等于2；而环面上的则恒等于0（见曲面）。这2与0恰是那两个曲面的欧拉数，这不是偶然的巧合。

不动点问题　考虑一个曲面到自身的连续变换（映射）,即曲面的每一点被移到该曲面上。右图，上面图，上下对折再左右对折，形成一个轮胎形状，再把下面的四叉按照ABCD安装在轮胎上，就是一个有4个洞的10个区域两两相连。