陶哲轩实分析是一本书，本书强调严格性和基础性, 书中的材料从源头——数系的结构及集合论开始, 然后引向分析的基础(极限、级数、连续、微分、Riemann积分等), 再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析, 最后到达Lebesgue积分, 这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的。书中还包括关于数理逻辑和十进制系统的两个附录．课程的材料与习题紧密结合, 的是使学生能动地学习课程的材料, 并且进行严格的思考和严密的书面表达的实践。

基本信息

图书简介

图书目录

基本信息

译者: 王昆扬

作者: 陶哲轩ISBN: 9787115186935

页数: 464 页

定价: 69.0

出版社: 人民邮电出版社

丛书: 图灵数学 统计学丛书

装帧: 平装

出版年: 2008-11-1

图书简介

本书适合已学过微积分的高年级本科生和研究生学习。

图书目录

第一部分

第1章　引论　3

1.1　什么是分析学　3

1.2　为什么要做分析　4

第2章　从头开始：自然数　12

2.1　Peano公理　13

2.2　加法　19

2.3　乘法　23

第3章　集合论　26

3.1　基本事项　26

3.2　Russell悖论(选读)　36

3.3　函数　38

3.4　象和逆象　44

3.5　笛卡儿乘积　48

3.6　集合的基数　53

第4章　整数和比例数　59

4.1　整数　59

4.2　比例数　65

4.3　绝对值与指数运算　69

4.4　比例数中的空隙　72

第5章　实数　75

5.1　Cauchy序列　76

5.2　等价的Cauchy序列　80

5.3　实数的构造　82

5.4　给实数编序　89

5.5　最小上界性质　94

5.6　实数的指数运算，第I部分　98

第6章　序列的极限　102

6.1　收敛及极限的算律　102

6.2　广义实数系　107

6.3　序列的上确界和下确界　110

6.4　上极限、下极限和极限点　112

6.5　某些基本的极限　118

6.6　子序列　119

6.7　实的指数运算，第II部分　122

第7章　级数　125

7.1　有限级数　125

7.2　无限级数　133

7.3　非负实数的和　138

7.4　级数的重排　141

7.5　方根判别法与比例判别法　145

第8章　无限集合　149

8.1　可数性　149

8.2　在无限集合上求和　155

8.3　不可数的集合　160

8.4　选择公理　163

8.5　序集　166

第9章　R上的连续函数　173

9.1　实直线的子集合　173

9.2　实值函数的代数　178

9.3　函数的极限值　180

9.4　连续函数　187

9.5　左极限和右极限　190

9.6　最大值原理　193

9.7　中值定理　196

9.8　单调函数　198

9.9　一致连续性　200

9.10　在无限处的极限　205

第10章　函数的微分　207

10.1　基本定义　207

10.2　局部最大、局部最小以及导数　212

10.3　单调函数及其导数　214

10.4　反函数及其导数　215

10.5　L'Hpital法则　217

第11章　Riemann积分　220

11.1　分法　220

11.2　逐段常值函数　223

11.3　上Riemann积分与下Riemann积分　227

11.4　Riemann积分的基本性质　231

11.5　连续函数的Riemann可积性　235

11.6　单调函数的Riemann可积性　238

11.7　一个非Riemann可积的函数　240

11.8　Riemann-Stieltjes积分　241

11.9　微积分的两个基本定理　244

11.10　基本定理的推论　248

第二部分

第12章　度量空间　255

12.1　定义和例　255

12.2　度量空间的一些点集拓扑知识　262

12.3　相对拓扑　265

12.4　Cauchy序列及完备度量空间　267

12.5　紧致度量空间　269

第13章　度量空间上的连续函数　274

13.1　连续函数　274

13.2　连续性与乘积空间　276

13.3　连续性与紧致性　279

13.4　连续性与连通性　280

13.5　拓扑空间(选读)　283

第14章　一致收敛　287

14.1　函数的极限值　287

14.2　逐点收敛与一致收敛　290

14.3　一致收敛性与连续性　294

14.4　一致收敛的度量　296

14.5　函数级数和WeierstrassM判别法　298

14.6　一致收敛与积分　300

14.7　一致收敛和导数　302

14.8　用多项式一致逼近　305

第15章　幂级数　312

15.1　形式幂级数　312

15.2　实解析函数　314

15.3　Abel定理　318

15.4　幂极数的相乘　321

15.5　指数函数和对数函数　324

15.6　谈谈复数　327

15.7　三角函数　333

第16章　Fourier级数　338

16.1　周期函数　338

16.2　周期函数的内积　340

16.3　三角多项式　343

16.4　周期卷积　345

16.5　Fourier定理和Plancherel定理　349

第17章　多元微分学　354

17.1　线性变换　354

17.2　多元微分学中的导数　359

17.3　偏导数和方向导数　362

17.4　多元微分链法则　368

17.5　二重导数与Clairaut定理　371

17.6　压缩映射定理　373

17.7　多元反函数定理　375

17.8　隐函数定理　379

第18章　Lebesgue测度　384

18.1　目标：Lebesgue测度　385

18.2　第一步：外测度　386

18.3　外测度不是加性的　394

18.4　可测集　396

18.5　可测函数　401

第19章　Lebesgue积分　404

19.1　简单函数　404

19.2　非负可测函数的积分　409

19.3　绝对可积函数的积分　416

19.4　与Riemann积分比较　420

19.5　Fubini定理　421

附录A　数理逻辑基础　426

附录B　十进制　446

索引　453