泰勒级数的定义 若函数f（x）在点的某一邻域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为： f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+f``( x0)(x-x0)²/2!+f```( x0)(x- x0)³/3!+...fn(x0)(x- x0)n/n!+.... 其中：fn(x0)(x- x0)n/n!，称为拉格朗日余项。 以上函数展开式称为泰勒级数。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。

泰勒级数在幂级数展开中的作用

幂级数

实用幂级数(Maclaurin 展开式）

泰勒级数在幂级数展开中的作用

在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数称为麦克劳林级数（Maclaurin series）。 函数f（x）的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f（x）的麦克劳林级数一致。

注意：如果f（x）的麦克劳林级数在点的某一临域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在某处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）都需要进一步验证。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(−1/x²) 当 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数 f 仅在 x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当 z 沿虚轴趋于零时 exp(−1/z²) 并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数是因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(−1/x²) 就可以被展开为一个洛朗级数。

基本原理：多项式的k重不可约因式是其微商的k-1重不可约因式；

进而得出多项式函数的泰勒展开，然后再由Peano，通过

Peano定理推广至任意函数的泰勒展开

基本思想：通过系数为微商的多项式来研究任意函数的性质（本科主

要是收敛性)

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数，这种级数称为幂级数.

泰勒展开式(幂级数展开法)：

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

实用幂级数(Maclaurin 展开式）

e^x= 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+xn/n!+Rn(x）

ln(1+x)= x-x^2/2+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+Rn(x)(|x|<1)

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+Rn(x)(-∞<x<∞)

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞)

arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|<1)

arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... ) (|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)

sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)

cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞)

arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ... (|x|<1)

arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)

傅立叶级数(三角级数)

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

当周期为T时，

a0=2/T∫(T/2..-T/2) (f(x))dx

an=2/T∫(T/2..-T/2) (f(x)cos2nπx/T)dx

bn=2/T∫(T/2..-T/2) (f(x)sin2nπx/T)dx