内容

证明(大于1的自然数必可写成素数之积 唯一性)

应用

推广

内容

任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1<P_2<...<P_n是质数，其诸方幂 ai 是正整数。

这样的分解称为N 的标准分解式。

证明

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。

大于1的自然数必可写成素数之积

用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。

自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，n 大于1。其次，n 不是质数，因为质数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设其中a 和b 都是介于1和n 之间的自然数，因此，按照n 的定义，a 和b 都都可以写成质数的乘积。从而

也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性

引理：若质数p | ab，则不是 p | a，就是p | b。

引理的证明：若p | a 则证明完毕。若，那么两者的最大公约数为1。根据裴蜀定理，存在(m,n) 使得ma + np = 1。于是b = b(ma + np) = abm + bnp。 由于p | ab，上式右边两项都可以被p整除。所以p | b。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设n 是最小的一个。

首先n 不是质数。将n 用两种方法写出：根据引理，质数

所以中有一个能被p1整除，不妨设为q1。但q1也是质数，因此q1 = p1 。所以，比n小的正整数也可以写成这与n 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

应用

（1）一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为： N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an)

那么它的正因数个数为（1+a1)(1+a2).....(1+an)。

（2） 它的全体正因数之和为d(N)=(1+p_1+...p_1^an)(1+p_2+...p_2^a2)...(1+p_n+...+p_n^an)

当d(N)=2N时就称N为完全数。 是否存在奇完全数，是一个至今未解决之猜想。

（3） 利用算术基本定理可以重新定义整数a和b的最大公因子（a,b）和最小公倍数[a,b], 并证明ab=(a,b)[a,b].

（4）此外还可证明根号2是无理数等等（毕达哥拉斯）。

（5） 证明素数个数无限。

推广

此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。 高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。 它也诱导了诸如唯一分解整环， 欧几里得整环等等概念。 更一般的还有戴德金 理想分解定理。