素数分布是数论中研究素数性质的重要课题。素数或称质数，是指一个大于1的整数，除1和它本身外，不能被其他的正整数所整除。研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。关于素数分布性质的许多著名猜想，是通过数值观察、计算和初步研究提出的，大多数至今仍未解决。

素数分布概略

孪生素数猜想

梅森素数分布

素数定理

素数极限分布个数

素数发生位置

素数分布概略

例如,2,3,5,7,11,13,17,19都是素数。大约在公元前300年,欧几里得就证明了素数有无穷多个。设2,3,…,p是不大于p的所有素数,q=2*3*…*p+1。容易看出q不是2，3，…，p的倍数。由于q的最小正除数一定是素数，,因此，或者q本身是一个素数，或者q可被p与q之间的某两个素数所整除[比如：2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509]。所以必有大于p的素数存在，由此即知素数有无穷多个。素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。人们至今没有找到，大概也不可能找到一个可以表示全体素数的有用公式。最初的研究方法，是通过观察素数表来发现素数分布的性质。现有的较完善的素数表是D.B.扎盖尔于1977年编制的，列出了不大于50000000的所有素数。从素数表可以看出：在1到100中间有25个素数,在1到1000中间有168个素数,在1000到2000中间有135个素数, 在2000到3000中间有127个素数，在3000到4000中间有120个素数,在4000到5000中间有119个素数,在5000到10000中间有560个素数。由此可看出，素数的分布越往上越稀少。

其中著名的素数分布猜想有以下几个：

孪生素数猜想

两个差等于2的一对素数,称为孪生素数。例如,3和5;5和7;11和13;17和19;29和31;41和43；59和61;71和73;101和103;…;10016957和10016959；都是孪生素数。迄今所知的最大孪生素数是1159142985×2-1和1159142985×2 1；它们是A.O.L.阿特金和N.W.里克特于1979年得到的。

所谓孪生素数猜想，即存在无穷多对孪生素数。这个猜想至今没有解决，但认为它是正确的可能性很大。在这方面的最好结果是中国数学家陈景润于1966年得到的：存在无穷多个素数p，使得p2是不超过两个素数之积。

梅森素数分布

2^P－1型的数称为梅森数，并以Mp记之；而 2^P－1型的素数称为梅森素数。2008年8月23日，美国加州大学洛杉矶分校计算机专家埃德森·史密斯发现了第45个梅森素数“2^43112609－1”，该素数有12978189位，它是目前已知的最大素数。如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！迄今人们已经发现47个梅森素数。

梅森素数的分布极不规则。探索梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔和德国数学家伯利哈特就曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出；而它们与实际情况的接近程度均未尽如人意。中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首次给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一重大成果被国际上命名为“周氏猜测”。该猜测的内容为：当2^（2^n）<p<2^（2^（n+1））时，Mp有2^（n+1）－1个是素数（注：p为素数；n为自然数；Mp为梅森数）。

素数定理

关于素数个数的研究是素数分布中最重要的问题之一。以 π(x)表示不大于x的素数个数，例如，π(2)=1，π(3)=2，π(100)=25，π(1000)=168。欧几里得早就证明了素数有无穷多个，即。从表可以看出：①x越大,π(x)与x的比值越接近于0；②x越大,π(x)与x/lnx的比值越接近于1。A.-M.勒让德和C.F.高斯猜测即通常所称的素数定理。它是素数分布理论的中心定理。在这方面首先做出贡献的是∏.Л.切比雪夫，他在1852年左右证明了存在两个正常数с1,с2，使得不等式с1x/lnx≤π(x)≤с2x/lnx成立,其中x≥2。在1896年，J.（-S.）阿达马和C.瓦莱·普桑彼此独立而又几乎同时证明了素数定理。他们的证明都使用了高深的复变函数论知识。因此，能否以尽可能初等的方法来证明素数定理，则成为数学家一直探讨的重要问题。1949年，A.赛尔伯格和P.爱尔特希给出了素数定理的初等证明，除了极限、lnx和e的性质之外，没有用到其他的分析知识，但证明过程十分复杂。他们的证明是基于赛尔伯格的著名恒等式：当x≥1时有

式中表示对所有不超过x的素数求和，记号O的定义如下：设g(x)>0,ƒ(x)为一复值函数, α≤x≤b)。若存在一个与x无关的正常数M,使得当α≤x≤b)时有|ƒ(x)|≤Mg(x),则记为ƒ(x)=O(g(x)),M称为记号O所含之常数。于是某一满足上述条件的函数ƒ(x),就可用O(g(x))代之。

有误差项的素数定理是指寻求误差π(x)-lix的最佳估计,,它比x/lnx更接近于π(x)。C.瓦莱·普桑于1900年首先证明了这里с是一正的常数。H.von科赫于1901年在黎曼假设（见黎曼ζ函数）下证明了

O(xlnx)。

И.М.维诺格拉多夫等于1958年借助于他的三角和估计方法,得到π(x)-lix=O(xexp(-с(lnx)))，ε为任意正数，с是和ε有关的正常数。误差项π(x)-lix的变化是极不规则的。设ƒ(x)是实函数，如果存在与x无关的正常数α，使得任意大的x满足ƒ(x)>αx，则记为ƒ(x)=Ω(x)；若使得任意大的x满足ƒ(x)<- αx，则记为ƒ(x)=Ω-(x)。若这两种情形同时出现，则记为ƒ(x)=Ω(x)。J.E.李特尔伍德于1914年证明了：当x→∞时，有π(x)-lix=Ω((xlnlnlnx)/lnx)。

算术级数中的素数定理 P.G.L.狄利克雷于1837年首先证明了首项与公差互素的算术级数中有无限多个素数。设整数q≥3.1≤l≤q，(l,q)=1。以π(x,q,l)表首项为l、公差为q的算术级数中不超过x的素数之个数。类似于素数定理，对于固定的q，容易证明： 式中φ(q)表示不超过q且与q互素的正整数的个数。这就是通常所说的算术级数中的素数定理。关于误差项估计，A.佩奇于1935年和C.L.西格尔与A.瓦尔菲施于1936年证明了：对任意正数h，当3≤q≤(lnx)时，有

式中с为绝对正常数；记号O中所含的常数仅与h有关,而与q无关。

算术级数中的最小素数 设k≥3,1≤l≤k,(l,k)=1。以p(k,l)表算术级数knl(n=0,1,2,…)中的最小素数。S.乔拉猜测p(k,l)=O(k)，其中ε为任意小的正数。ю.Β.林尼克于1944年首先证明了存在绝对常数с，使得p(k,l)=O(k)。潘承洞于1957年首先指出с是可以计算的，并定出了с的值。目前最好的结果с≤17是陈景润于1979年得到的。

相邻素数之差 设pn是第n个素数，是相邻的两个素数之差。在黎曼假设下,H.克拉默于1921年证明了 无条件结果 是赫斯－布朗和H.伊瓦尼克于1979年得到的。另一方面，关于dn的下界，E.邦别里和H.达文波特于1966年证明了：M.N.赫胥黎于1977年改进为E≤0.4425。猜测应有E=0。关于dn还有许多有趣的研究。

素数极限分布个数

自然数自1连续至105为一个周期。第N个周期的素数个数至少是7个。

素数发生位置

定位在质数月的质数源数包容全部质数与派生质数源数。

不包括[2 3 5]为因数的素数积谓之派生质数源数。

比如：

一，广义质数源数【[T=N-1]，N是自然数代表质数月位序号】

1，,位置在第N个质数月上旬的质数源数：

T*30+[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]之内的质数源数只能是[1 7]

2，位置在第N个质数月中旬的质数源数：

T*30+[ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20]之内的质数源数只能是[11 13 17 19]

3，位置在第N个质数月下旬的质数源数：

T*30+[ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30]之内的质数源数只能是[23 29]

二，狭义质数源数[T=0]

1，位置在第,1个质数月上旬的质数源数：

0*30+[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]之内的质数源数只能是[2 3 5 7]

2，其余质数源数位置与广义质数源数的相同