请输入您要查询的百科知识:

 

词条 四元数域
释义

复数可以表示平面向量,在物理上有着广泛应用。于是人们很自然地想到,能不能仿照复数复数集找到“三维复数”,用以表示空间向量呢?爱尔兰的数学家哈密顿首先发现,要想在实数基础上建立三维复数,使它具有实数和复数的各种运算性质,这是不可能的。他进而研究“四维复数”,笪以所谓四元数,并于1857的发表了《四元数讲义》。他逝世后的第二年,即1866年出版了《四元数原理》。

概念

复数仅有两个单位1与i,而四元数有四个单位1, i, j, k,一般的四元数的形式是

a+bi+cj+dk,

这里,i, j, k是空间笛卡儿直角坐标系中三个坐标轴上的单位向量,类似于复数的虚数单位;a, b, c, d是实数,称为四元素的系数。

两个四元数相等被规定为对应系数分别相等。

四元数的加减法,和一般复数的加减法相同,也满足交换律和结合律。四元数的乘法满足结合律但并不满足交换律,这是和实数、复数最显著的不同,也正因为如此,四元数集不能构成数域,人们称它为广域。

四元素的研究,推动了向量代数的发展。美国著名的物理学家麦克斯韦是哈密尔顿的学生。他在掌握了四元数理论后,利用向量分析等工具建立起了著称于世的电磁理论。

19世纪,数学家们证明了:对于实数域上的n维向量空间,当n>2时 ,无法定义乘法运算,使它成为域。这就是为什么只称二维向量的为复数,而不称其他向量为复数的道理。当n>2时,n维向量空间不再称为数域而称为超复数系统。

四元数的运算

基本的:

p=[1 2 3 4] q=[5 6 7 8]

p+q=[6 8 10 12]

2p=[2 4 6 8]

2个四元数的积:

p=[m,u] q=[n,v] pq=[mn-vu,nu+mv+(v×u)]

m,n是标量,u,v是向量

共轭四元数:

p=[n,v] ~p=[n,-v]

旋转1个四元数( 或向量):

p'=q(p)(~q)

旋转向量的话:用向量取代p的向量部分,p的标量部分取零。

四元数到旋转矩阵的变换:

| w2+x2-y2-z2 2xy-2wz 2xz+2wy |

| 2xy+2wz w2-x2+y2-z2 2yz-2wx |

| 2xz-2wy 2yz-2wx w2-x2-y2+z2 |

旋转矩阵到四元数的变换

tr=m11+m22+m33

if(tr>0)

{

temp=1/2squrt(tr+1);

qw=0.25/temp qx=(m23-m32)temp qy=(m31-m13)temp qz=(m12-m21)temp

}else

{

m11,m22,m33中

if(m11 is greatest){

temp=1/2squrt(1+m11-m22+m33)

qw=0.25/temp qx=(m21+m12)temp qy=(m13+m31)temp qz=(m32-m23)temp}

if(m22 is greatest){

temp=1/squrt(1+m22-m11-m33)

qw=(m21+m12temp qx=0.25/temp qy=(m32+m23)temp qz=(m13-m31)temp}

if(m33 is greatest){

temp=1/squrt(1+m33-m11-m22)

qw=(m13+m31)temp qx=(m32+m23)temp qy=0.25/temp qz=(m21-m12)temp}

}

Euler Angles and Quaternions:

q=[cos(angle/2),sing(angle/2)axis]

axis为一向量,是旋转所绕之轴

sa=squrt(1-qw2) angle=2arccos(qw)

axisx=qx/sa axisy=qy/sa axisz=qz/sa

随便看

 

百科全书收录4421916条中文百科知识,基本涵盖了大多数领域的百科知识,是一部内容开放、自由的电子版百科全书。

 

Copyright © 2004-2023 Cnenc.net All Rights Reserved
更新时间:2024/12/25 13:58:01