四线摆是由四根钢丝悬吊着一个长方形平台构成，用于展示四个单摆动合成运动的物理学实验仪器。

四线摆曲线

四线摆的平动

四线摆的转动

四线摆的应用

四线摆曲线

四线摆平台可绕中心轴线作扭转摆动，若将平台沿某一方向拉离平衡位置后放开，平台摆动的轨迹将通过画笔记录在这张纸上，称为四线摆曲线。曲线的多层次结构反映了在阻力的作用下平台摆幅逐渐减小，因此曲线不可能重合。四线摆曲线的形状随平台的摆动状态而变，平行摆动为直线，圆周摆动为螺旋线，扭动摆动则会画出丰富多彩的曲线，而且没有任何两次扭摆画出的曲线相同。

四线摆的平动

把平台的摆动分解在两互相垂直的方向上（设为x 轴和y 轴），平台的小角度扭转摆动可看作简谐运动，若它们的频率相同，振动表达式分别为

x=A1cos(ωt+ф1)

y=A2cos(ωt+ф2)

消去参数t，即可得质点的轨迹方程为

x/A1+y/A2 -(2xy/A1A2)cos(ф2-ф1)=sin(ф2-ф1)

一般的说，这个方程式是椭圆方程式，我们先通过几个特例来说明其意义。

(1)ф2-ф1=0，即两振动同相

这时x /A1 -y/A2=0

这说明轨迹是一条直线，而且合振动也是简谐运动，频率与分振动相同。

(2)ф2-ф1=π，即两振动反相

这时x/A1+ y/A2=0

轨迹仍是一条直线，合振动仍然是简谐运动，频率与分振动相同。振动产生的解释为运动量 。

(3)ф2-ф1=π/2，-π/2

这时 x/A1+y/A2=1

这表示轨迹是一个椭圆。这种情形中，如果两分振动的振幅相等，则合振动轨迹为圆。

(4)ф2-ф1 等于其它值

此时合振动轨迹一般是椭圆，其具体形状（长短轴的方向与大小）合运动的方向由分振动的振幅的大小和相差决定。 下面画出了8种不同的情形（如图一），对应于不同的相差。

四线摆的转动

四线摆的扭转的过程也就是平台势能与动能的转化过程。扭转的周期由平台的转动惯量决定。根据摆动周期和有关几何参数就可以测定摆的转动惯量。

设平台的质量为m，当以不大的角度作摆动时，它沿轴线上升的高度为h，则增加的势能为

E1 = mgh

当平台回转到平衡位置时，它具有的动能是

E2 = 1/2Ioωo

式中，Io 是平台对于通过其重心且垂直于台面轴的转动惯量，ωo 是平台回到平衡位置时刻的角速度，不计摩擦阻力和空气阻力，根据机械能守恒定律得

1/2Ioωo= mgh

把平台的小角度扭转摆动作简谐运动，则平台的角位移与时间的关系是

θ=θosin（2πt/T）

式中，θ 是平台在时间t 的角位移，θo 是角振幅，T 是一个完全振动的周期，振动的初相位认为是零。于是角速度为

ω=dθ/dt=2πθo/T （cos2πt/T）

在通过平衡位置的瞬时，t= 0，1/2T，T，3/2T，…，ω 的最大值是ωo= 2πθo/T

于是有mgh = 1/2Io（2πθo/T）*

进一步讨论h，θo 与四线摆有关的几何参数的关系，设悬线长度为l, 上下悬点到中心的距离为r 和R，上下平台间垂直距离为H，则

h = 2Rr·2sin0.5θo/(2H-h)

由于l>>h，所以2H-h≈2H。当摆角θo 很小时，则sinθo/2 ≈(θo/2) =θo/4

由此得h = Rrθo/2H

代入* 式可得mg Rrθo/2H =1/2Io （2πθo/T）

Io= mgRrT/4πH

上式是平台对于中心轴的转动惯量计算式。等式右边各量R，r，H 和T 都可以直接测出。但应注意上式成立的条件是：θo 很小（θo<10），四线等长，线上张力相等，上下均水平，而且是绕平台的中心轴扭转摆动的。

欲测质量为m1的待测物体对于中心轴的转动惯量，只需将该物体置于平台上，由上式先算得该待测物体和平台共同对于中心轴的转动惯量

I = （m + m1）gRrT1/4πH

式中，T1为待测物体和平台共同的一个完全摆动周期。于是得到待测物体对于中心轴的转动惯量为

I1 = I – Io= （m+ m1）gRrT1/4πH – Io

理论分析证明，若刚体绕某轴转动惯量为I0，当转轴平行移动距离为d 时，则它绕新轴的转动惯量变为I= I + md，这就是平行轴定理。我们可以用实验来验证这一定理。将两个质量均为m2 且形状完全相同的圆柱体，对称的放在平台上，离平台中心的距离都为d。按上法可测得两圆柱体绕平台中心轴的转动惯量为

I2= （m+ 2m1）gRrT2/4πH - I0

将此式所得的I2 与理论上按平行轴定理所得的

I’2 =（1/2）m2（D2/2）+ m2 d

进行比较，上式中D2为圆柱体的直径，（1/2）m2（D2/2） 为圆柱体绕通过其自身中心轴线的转动惯量。

四线摆的应用

有一种地震测量仪就是应用了四线摆的原理。

地震的颤动由三种以上形式的地震波运动组成，它们以不同的速度通过地壳。地震波向不同的方向运动，首先是纵向运动的地震波，其次是横向运动的地震波，长波沿着地球表面运动。长波运动速度较慢，但运动范围广，它造成了我们所见到的一切地震灾难。1883年在日本工作的英国地震学家米尔恩等人制成了摆式地震仪。方法是把一枚坠子（摆）挂在长约1.5米的水平吊杆上，吊杆可像门一样自由横转，地面移动时坠子由于惯性趋向静止，因而相对地面运动。

米尔恩的地震仪后来发展成一种现代地震仪，由三台仪器组成，其中两台分别记录地壳东西和南北的水平运动，第三台记录上下运动（利用弹簧挂起坠子，地震时能上下运动）。

米尔恩之后很多科学家对地震仪器的发展作出贡献。1888─1889年间，伯希维茨制成了光记录式水平摆，第一次记录到远震（在德国波茨坦记录到日本1889年4月17日地震）。日本磊森房吉制成水平摆式地震仪，采用机械杠杆放大，熏烟记录。德国维谢特制成倒立摆式大型水平及垂直向地震仪，提高了放大倍率。此类地震仪的主要原理是一个精巧悬挂着的重物，当地震摇撼了仪器的其他部分时，它保持不动。换句话说，这个重物从某一个固定的支柱上悬垂下来，地震期间他不作任何运动。但是，悬挂着它的支柱在运动，而在此重物下方有一张记录图纸与支柱紧紧相连。记录图纸移动时，地震的情况就被与重物相连的针记录在图纸上了。这张记录图纸显示出地震波到达的时间，运动的力量，甚至可以显示出地震波的来向。