内容

历史

证明(证明1 证明2 证明3)

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如果三角形中两内角平分线相等，则此三角形必为等腰三角形。

历史

这一命题的逆命题：“等腰三角形两底角的平分线长度相等”，早在二千多年前的《几何原本》中就已作为定理，证明过程想必大家都会。但上述命题在《几何原本》中只字未提，直到1840年，雷米欧斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆（C.Sturm）的信中提出请求给出一个纯几何证明。斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。据说连欧几里德都不会证！！首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863），因而这一定理就称为斯坦纳—雷米欧斯定理。

继斯坦纳之后，这一定理的丰富多彩的证明陆续发表，但大多是间接证法，直接证法难度颇大。一百多年来，吸引了许多数学家和数学爱好者。

证明

证明1

如图，则在△EBC与△DBC中：sin(2β+γ)/ sin2β= BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ,

∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0

→sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2（β+γ）+ sin2β】=0（积化和差）

→sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0（重新分组并提取公因式）

→sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0（和差化积）

又显然上式的后一个因式的值大于零，∴sin[(β-γ)/2]=0， ∴β=γ,∴AB=AC. 证毕！

证明2

设三角形ABC,∠B=2a,∠C=2b,角平分线BD=CE

分别以BD,CE为底边,以a+b为底角向上做两个等腰三角形BDF,CEG

连接AF,AG

则ADBF四点共圆,AGCE四点也共圆

因∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+b+a=180度

所以FAG共线

∠4+∠BCG=∠4+(b+b+a)=∠5+(b+b)+a=180度

所以BCGF四点共圆

因△FBD≌△GEC

所以BF=CG,结合共圆条件得FG//BC,等腰梯形,∠FBC=∠GCB

b+a+a=b+b+a

整理得∠B=∠C

证明3

如图，将△AEC绕点O（点O为BI和CI的中垂线的交点）逆时针旋转，使CE与BD重合，A的对应点为A'。

设BD与CE交于I，则I为△ABC的内心，AI平分∠BAC，则旋转后AI的对应线为A'I'。连接AA'，A'B。

∵∠DA'B=∠BAC（旋转对应角）

∴A、A'、B、D四点共圆

∴∠AA'D=∠ABD

∵∠AID=∠ABD+∠BAI（外角定理）

∴∠AID=∠AA'D+∠I'A'D=∠AA'I'

∴A、A'、I'、I四点共圆

∵AI=A'I'

∴四边形AA'I'I是等腰梯形

∴AA'∥II'

即AA'∥BD

∴四边形AA'BD是等腰梯形

∴AB=A'D=A'C'

∵A'C'=AC

∴AB=AC

定理证毕