定义

基本数列通项公式及其求法(等差数列 等比数列)

一阶数列通项公式求法(概念 若干求法思路)

二阶数列通项公式求法(概念 求法)

定义

按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{a n } 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应a n 项的值。

而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。

基本数列通项公式及其求法

等差数列

对于一个数列{a n }，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差,记为 d ；从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和，记为 S n 。

那么 ， 通项公式为 a n = a 1 + (n-1)* d ,其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：

a 2 = a 1 + d ,

a 3 = a 2 + d,

a 4 = a 3 + d,

````````

a n = a n-1 + d,

将以上 n-1 个式子相加， 便会接连消去很多相关的项 ，最终等式左边余下a n ,而右边则余下 a1和 n-1 个d,如此便得到上述通项公式。

此外， 数列前 n 项的和 S n = n*a 1 + n*(n-1)*d /2, 其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。

值得说明的是，（S n) /n = a 1 +(n-1)*d /2 ，也即，前n项的和Sn 除以 n 后，便得到一个以a 1 为首项，以 d /2 为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn 的数列问题迎刃而解。

等比数列

对于一个数列 {a n }，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比 q ；从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和，记为 T n 。

那么， 通项公式为 a n = a1 * q (n-1) (即a1 乘以q 的 （n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：

a 2 = a 1 *q,

a 3 = a 2 *q,

a 4 = a 3 *q,

````````

a n = a n-1 *q,

将以上（n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下a n , 右边余下 a1 和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。

此外， 当q=1时 该数列的前n项和 Tn=a1*n

当q≠1时 该数列前n 项的和 T n = a1 * ( 1- q^(n)) / (1-q).

一阶数列通项公式求法

概念

不妨将数列递推公式中同时含有 a n 和a n+1 的情况称为一阶数列，显然，等差数列的递推式为

a n =（ a n-1 ） + d , 而等比数列的递推式为 a n = a n-1 *q ； 这二者可看作是一阶数列的特例。故可定义一阶递归数列形式为： a(n+1) = A *a n + B ········☉ , 其中A和B 为常系数。那么，等差数列就是A=1 的特例，而等比数列就是B=0 的特例。

若干求法思路

基本思路与方法： 复合变形为基本数列（等差与等比）模型 ； 叠加消元 ；连乘消元

思路一： 原式复合 （ 等比形式）

可令 a(n+1) - ζ = A * (a n - ζ )········① 是原式☉变形后的形式，即再采用待定系数的方式求出 ζ 的值， 整理①式 后得 a(n+1) = A*an +ζ - A*ζ , 这个式子与原式对比可得，

ζ - A*ζ = B

即解出 ζ = B / (1-A)

回代后，令 bn= an - ζ ,那么①式就化为 b(n+1) =A* b n , 即化为了一个以（a1-ζ )为首项，以A为公比的等比数列，可求出bn的通项公式，进而求出 {an} 的通项公式。

思路二： 消元复合（消去B）

由 a(n+1) = A *a n + B ········☉ 有

a n = A* a(n-1) +B ··········◎

☉式减去◎式可得 a(n+1) - a n = A *（ a n - a(n-1））······③

令 bn = a(n+1) - an 后， ③式变为 bn = A* b(n-1) 等比数列，可求出 bn 的通项公式，接下来得到 a n - a(n-1) = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数）的式子， 进而使用叠加方法可求出 an

二阶数列通项公式求法

概念

类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有a(n+2) 、a(n+1)、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式：

a(n+2) = A * a(n+1) +B * a n , （ 同样，A，B常系数）

求法

基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察待定系数和相应的项

原式复合： 令 原式变形后为这种形式 a(n+2) - ψ * a(n+1) = ω (a(n+1) - ψ*an)

将该式与原式对比 ，可得

ψ + ω = A 且 -（ψ*ω）= B

通过解这两式可得出 ψ与ω的值，

令bn=a(n+1) - ψ*an, 原式就变为 b(n+1) = ω * bn 等比数列，可求出bn 通项公式bn = f (n) ，

即得到 a(n+1) - ψ*an = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数), 而这个式子恰复合了一阶数列的定义，即只含有a(n+1)和an 两个数列变项，从而实现了“降阶”，化“二阶”为“一阶”，进而求解。