| 词条 | 数理逻辑史 |
| 释义 | 以演绎方法为中心内容的形式逻辑已有 2000多年的历史。最早从形式结构来论述演绎推理的著作是古希腊亚里士多德的《工具论》。自亚里士多德起至17世纪后期是形式逻辑的古典阶段。古典形式逻辑包括几种常见的演绎推理和最简单的量词理论，也使用一些特有符号。它没有探讨关系逻辑和公理系统的逻辑性质。自17世纪后期G.W.莱布尼茨起是数理逻辑的萌芽和发展时期，是形式逻辑的现代阶段。数理逻辑使用大量的特制表意符号，在不同部分应用不同程度的数学方法。 简介现代演绎方法、形式化和公理系统的发展史。 它包含着古典形式逻辑而突破其局限性。数理逻辑始则联系数学的实际，继而又适应其他学科的需要，在近百年内取得了崭新而飞跃的发展。 古典形式逻辑是演绎法研究的前数理逻辑时期。数理逻辑史本身又可分为三个阶段。第一阶段开始用数学方法研究和处理形式逻辑。本阶段从莱布尼茨到19世纪末延续了约 200年。第二阶段是数理逻辑的奠基时期。19世纪数学发展提出了探讨数学方法和数学基础的问题，数理逻辑围绕着这些课题，创建了新方法并提出了新理论。从19世纪70年代到20世纪30年代约70年时间奠定了本身的基础。第三阶段从20世纪30年代起为数理逻辑的发展时期。本阶段数理逻辑的主要内容已成长为数学的分支，并与数学的其他分支、计算机科学、语言学和心理学有广泛的联系。有少数部分内容如某些公理系统的研究与哲学问题有着相互的作用。 何为数理逻辑数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。 开始阶段数理逻辑开始于17世纪后期。当时古典形式逻辑不足之处已为某些逻辑学者所理解。数学方法对认识自然和发展科学技术已显示出重要作用。人们感到演绎推理和数学计算有相似之处，希望能把数学方法推广到思维的领域。德国唯理论哲学家莱布尼茨首先明确地提出了数理逻辑的指导思想。他设想能建立一“普遍的符号语言”，这种语言包含着“思想的字母”，每一基本概念应由一表意符号来表示。一种完善的符号语言又应该是一个“思维的演算”，他设想，论辩或争论可以用演算来解决。莱布尼茨提出的这种符号语言和思维演算正是现代数理逻辑的主要特证。他为实现其设想做了不少具体的工作。他曾构成一个关于两概念相结合的演算，给与这种结合A叽B以内涵和外延的解释，得到了一些重要定理。他成功地将古典逻辑的四个简单命题表达为符号公式。他又提出了用素数代表初始概念并将复合概念表示为素数的乘积的配数法，但未能较好地应用。 莱布尼茨以后在18世纪前后，欧洲大陆有许多人继续了他的工作，没有得到重要结果。19世纪中叶两个英国学者G.布尔和A.德摩根突破了沉闷的局面。布尔是代数学家。19世纪初期数的概念逐渐扩大，负数、分数、实数等和正整数一样都遵守一些相同的规律,他设想,给代数系统以逻辑的解释或可构成一个思维的演算。鉴于四元数的发现，他也认为，思维的运算和一般代数的规律可以有差异，不能机械地推广。他给与代数以四种解释，其中一种为类的演算，两种是命题演算，还有一种是概率理论。类演算所特有的规律为x2=x。命题演算中的命题变元只取0或1为值，此系统可被看作为二值代数，他就用此二值代数作为推导的工具。布尔原来的系统有不少缺点，如有些代数公式没有解释以及把加法解释为不相容的逻辑合等等。布尔代数后来得到了改造和发展。19世纪后期德国的E.施罗德(1841～1902)把它改进为一演绎系统。20世纪以来，布尔代数已发展成为一个结构极为丰富的代数理论。布尔的贡献是在逻辑史上首先提出了一个尽管还有缺点的逻辑演算。 关系推理虽然早就为从亚里士多德起的古典逻辑学家所发现，关系逻辑却没有得到重视和研究。德摩根是历史上第一个探讨这种推理理论的学者。他的兴趣原在于推广古典逻辑。他认为，古典三段论的系词“是”字实际上是一个传递关系，每一传递关系都可以使类似古典三段论的推理有效。因之，他进而研究关系的种类和性质,使用一些他本人创造的符号,发现了一些有效的关系推理形式。他是一位数学家,他认为在代数学中,关系是极为重要的。德摩根所得的具体结果不算多，他的历史功绩在于，突破了古典形式逻辑“一主项一谓项”的局限，提出了关系逻辑，为后人的探讨开辟了道路。 奠基阶段19世纪初以来，人们在积累了大量实践经验并进行理论总结后，感到数学科学单纯凭借几何或物理直观以及一些有效应用是不足的，进而要求数学论证具有严谨性和系统性，对基本理论、证明方法和数学性质做深入的探讨。70年代开始出现对逻辑有重要意义的发展，主要有：集合论理论、严格的公理方法和初步自足的逻辑演算。 集合论的创始发展过程19世纪20年代的极限理论通过收敛性明确了无穷序列和无穷小的性质，但对于无穷大和无穷集合还不能做数学的处理，还没有明确的认识。70年代G.F.P.康托尔在研究函数论时需要区别不同的无穷集合。“和本身的真部分一一对应”，多年来是无穷集之谜。康托尔突破从有穷以衡量无穷的束缚，以此为无穷集的本质特征，创建了集合论。1874年他证明了一切代数数和正整数有一一对应,是可数的;而正实数和正整数无一一对应，不可数。这就数学地证明了有比可数集更大的无穷集。在他1878年的论文里出现了“等势”概念和对于无穷集的特征的解释。他在1883和1891年的论文中全面发展了无穷基数和无穷序数的理论，利用良序集理论和幂集给出一个比一个大的基数和序数。连续统假设在1878年曾被作为估计提出，1883年他认为此假设是可证的。在后一论文里他也讲到良序定理的重要性。但对这二者他始终没有给出证明。关于悖论，他曾和D.希尔伯特于1895年通信讨论过布拉里-弗蒂悖论,1899年康托尔函告德国学者R.戴德金德(1831～1916)，认为包含着一切集合的集合是“一个不一致的系统”。康托尔创始的集合论由于肯定了实无穷即已完成的、存在着的无穷集，并使用了超穷方法，因而在当时遭到L.克罗内克(1823～1891)的攻击和反对，同时也得到了K.魏尔施特拉斯(1815～1897)和希尔伯特的赞赏与支持。 何为集合论数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。 作用 按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础。 历史 集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一，是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前。 公理方法的发展早在公元前约 300年，古希腊数学家欧几里得在其《几何原本》中，总结和整理了当时关于几何方面的知识，建立了一个具体公理系统。欧几里得第五公设（公理）或平行公设由于其真实性不够自明，在当时引起了怀疑。起初人们曾设法从其他公设论证第五公设，或代之以更为自明的公理，然而经过长期努力也未获得结果。18世纪意大利的G.萨凯里 (1667～1733) 试图用反证法论证与第五公设相反对的假设不能成立，但结果却适得其反，从而产生和发展了非欧几里得几何，并提出了非欧几何作为公理系统的一致性问题。19世纪中叶后，人们已经判明射影几何与度量几何的相互关系,揭示出两种几何系统所必需的公理和假设。德国数学家P.帕施(1843～1930)在其《新几何讲义》(1882)一书中，给出了历史上第一个严格的几何系统，明确了射影几何隐含着的全部公理。他还从理论上提出形式公理学的思想，认为几何学里推导的进行必须独立于几何概念的直观内容,而不以图形为根据。同时,各种几何或代数公理系统的出现，表明一个严格公理系统可以有不同解释或模型。在这样的历史条件下，希尔伯特和《几何基础》一书于1899年出版。为了便于理解，在书中利用直观的语词引进点、线、面三类事物和它们间的关系，如“在……之上”、“合同于”、“平行”等等，而没有再做解释。其实这些直观的语词只起了变元的作用，这些事物和关系的性质完全由几组公理来决定，并可以有不同的解释。公理不仅反映系统的逻辑结构，也限制着对那些事物的可能的解释或模型。这是一种初步形式化的公理系统。希尔伯特还讨论和论证了该系统的一致性和各公理的相互独立性。 逻辑演算的确立逻辑演算是一种公理系统，其中的定理都是逻辑规律特别是推理形式。19世纪70年代G.弗雷格首先建立了一个完全的逻辑演算体系，其后G.皮亚诺也为此做了不少贡献，最后由B.A.W.罗素和A.N.怀特海完成了建立一个初步自足的完全的二值外延逻辑系统的工作。弗雷格对逻辑的兴趣来自数学基础问题的研究。他认为，人们应该考虑如何定义数的概念并证明关于自然数的定理。他认为，数学真理虽也要通过感性才为人所认识，但认识的来源并不就等于证明的根据，数学命题似乎可以纯粹从逻辑规律得到证明。从日常语言不能表达严格和复杂的思想这一考虑出发，他发明了一种表意的语言，名之为“概念语言”，用以表达其逻辑演算。这种语言虽然精确，但由于是二维的图形，不便理解，因之他的著作开始时影响很小。弗雷格的重要贡献之一是把数学里的函数概念引入逻辑并发展了量词理论。他的另一重要贡献是，区别了对象语言（演算里的语言）和语法语言（讲述演算所用的语言）。一个严格的逻辑演算必须有它本身的推导或演算规则，这种规则不应在演算里表达，是现代逻辑所谓的变形规则。在其概念语言中，弗雷格曾举出一些演算规则，如分离规则等。他从集合论的角度利用“遗传性”定义了数的序列，为以后定义自然数序列及说明数学归纳法做了准备。由于他没有深入研究集合论，因而未能全面地阐明逻辑和数学的关系。 皮亚诺认为，语言含混是数学基础问题难以解决的根源。他创造一符号体系，并用来精确地分析了大量的数学命题。他的符号简单适用，其中一部分仍被保留在当代逻辑文献中。在逻辑方面他的重要贡献有二，其一是区别两类间的包含关系与类和分子的从属关系，其二是区别某一个体和以此个体为唯一分子的类。皮亚诺没有给出一逻辑演算体系，只列举出一系列定理。在公理方法方面，他的 5条算术公理由于理论上优越而获得了公认。1900年在巴黎国际哲学会上他给罗素留下深刻的印象，推动了罗素的观点的发展。 罗素欣赏数学定理的必然性和数学论证的方法，想彻底理解数学知识的性质。他反对I.康德的数学来源于主观纯形式的观点，也不同意经验主义者关于数学依赖于经验归纳的看法。他主张数学可以从逻辑规律推导出来，这是逻辑主义观点。在他和怀特海合著的几乎完全以符号表达的三大卷《数学原理》里，总结了前人的成就，做出许多新的创造性贡献。他们改进和发展了C.S.皮尔士和施罗德的关系逻辑和关系理论。1901年罗素本人发现了由逻辑的最根本概念形成的悖论，引起了很大的震惊。1903年起他又逐渐完善了解决悖论的类型论。他虽然也建立了一个完全的谓词演算，但不够严格和形式化。他未能很好地区别演算里（对象语言）的定理和演算外（元语言里）语法的变形规则，在这点上较之弗雷格犹有逊色。在数学基础方面，罗素和怀特海最重要的贡献是从几个逻辑概念和公理出发再增加两个新公理，即无穷公理和选择公理（乘法公理），就推导出康托尔集合论、一般算术和大部分的数学。这两个新公理都是和实无穷大有关的断定，它们显示出逻辑和数学的联系和差别。单纯从逻辑推不出数学，必须再增加两个公理，可见数学和逻辑不等同。可是这结果也表明数学和逻辑的深刻联系，其他自然科学如生物学等都不是增加一两个这样的公理就可以从逻辑推出来的。 逻辑主义有双重涵义。它主张数学可以纯粹从逻辑推导出来，这是基本的涵义。此外有时它还意味着某种哲学观点，即认为数学可以从逻辑推导出来的不必都有明确或系统的哲学见解。弗雷格和罗素都是逻辑主义者，戴德金德也是逻辑主义者。弗雷格和罗素有哲学观点，而戴德金德似乎没有写下他对逻辑的哲学观点。能否从逻辑推出数学，这是极具体的科学推导问题，罗素和怀特海明确了数学和逻辑的相互关系，这是他们的卓越贡献，同时也解决了戴德金德的问题。在哲学方面，弗雷格和罗素都认为，逻辑是某种先验的理论体系，这是一种先验论观点。 关于数学基础的争论20世纪初期，集合论、公理方法和逻辑演算这三方面都继续发展，同时也引起了一系列争论。1900年巴黎国际数学会上希尔伯特提出著名的23个问题，其中，第 1个就是求证康托尔集合论的连续统假设和良序定理；第 2个是实数公理系统的一致性问题，并且认为公理的一致性可以说明实数系具有数学的存在。1904～1906年，J.H.彭加勒在评论法国数学家L.古杜拉时主张没有实无穷，数学归纳法是较逻辑更为根本的方法，因而数学不能归结为逻辑。1904年E.策尔梅洛(1871～1953)根据选择公理证明了良序定理，结果引起了对选择公理的广泛注意，同时也引起了几位著名法国数学家E.鲍瑞尔 (1871～1956)、H.勒贝格(1875～1941) 和R.贝尔(1874～1932)关于无穷多个的，特别是不可数个任意选择的可接受性的讨论。1907年荷兰数学家L.E.J.布劳维尔在博士论文《数学基础》里表示不承认康托尔集合论，也不同意把数学归结为逻辑。1908年，他在逻辑史上第一次提出排中律不可靠的论点。在论文《直觉主义和形式主义》(1912)里，他进一步阐述了直觉主义的思想。这些史实表明当时争论的重点在于：①有没有和如何认识实无穷，②什么是数学的存在，③数学应建筑在什么基础之上。围绕着这些问题，20年代出现了两个主要学派即直觉主义和所谓的形式主义。 直觉主义发展过程直觉主义、构造主义和构造性数学，这三个名词的涵义不同。严格意义的直觉主义属于哲学流派，是一种否认理性认识的唯心主义观点。构造主义主张自然数及其某些规律和方法，特别是数学归纳法，是数学里直观上可靠的出发点，其他一切数学对象和理论都应该能用不假定实无穷的方法从自然数构造出来。这里的直观并不必带有鲜明的或系统的哲学见解。克罗内克就是构造主义者而不是直觉主义者。彭加勒和勒贝格等都有不同程度的构造倾向，可是他们并不完全否认非构造性数学。至于构造性数学则是数学科学的一部分，和承认实无穷的古典数学相辅相成。 布劳维尔持有直觉主义哲学观点。他认为，数学来源于先验的初始直觉，这种直觉产生了有穷数和无终止的无穷序列，并从而构造出各种数学对象。数学是创造性的心灵活动，独立于逻辑和语言。他也是一构造主义者，他不承认客观存在着已完成的无穷体系，认为无穷只是永无休止的潜在过程。他提出，一切以实无穷为前提，非构造性的论证和理论都不能成立。必须具体给出或者有一构造方法，数学对象才算作存在，间接的存在证明是无效的。在他看来，可证者为真，可否证者为假，在可证与可否证之间还有中间可能，因之排中律不能成立。既然如此，古典数学的各分支就要重新经过审核。非构造方法对于康托尔集合论和数学分析有本质的意义，因之戴德金德分割、 上确界定理和波尔察诺-魏尔施特拉斯定理等都失去根据。古典数学的这些部分必须改造或被摈弃。然而，布劳维尔的数学观点和他自己的工作并不一致，他在1918年以前的重要贡献也不属于构造的范围。此后他虽从事于重新建立古典数学的工作，但很多重要定理得不到证明，概念的形成也变得甚为复杂而含混，不能令人满意。 30年代，布劳维尔的影响有所扩大，希尔伯特的学生H.魏尔（1885～1955）也声称要参加布劳维尔的行列，这促使希尔伯特积极考虑保卫古典数学。他反对布劳维尔和魏尔走克罗内克的老路。他说，古典数学是我们最有价值的宝藏。悖论出现的原因不在实无穷，而是由于对无穷的错误认识。策尔梅洛的公理集合论已可以排除被发现的悖论，有待解决的只是如何论证古典数学的一致性，并保证不再出现逻辑矛盾。 何为直觉主义强调直觉或直观在认识中的作用的思潮和学说。认为直觉是比抽象的理性更基本、更可靠的认识世界的方式。这种学说或思潮通常带有强烈的反理性主义、反实证主义和反唯物主义倾向。 希尔伯特方案求模型是论证一致性的重要方法。集合论或数学分析不能再在其他理论得到模型。希尔伯特认为，感性经验和物理世界里没有无穷大和无穷集合，自然界里也找不到它们的模型。他称实无穷为理想元素。引进理想元素是现代数学常用的方法，例如几何的无穷远点。理想元素可以简化理论,使结构更为完整,但只有不从而带来逻辑矛盾，增加理想元素才是可允许的。集合论和数学分析在一定意义上是“无穷的交响乐”，因之必须在求模型法外，设法论证它们的一致性。为此希尔伯特提出一个方案，这方案是：将包含实无穷的数学理论组成一个完全形式化的公理系统，用（不假定实无穷的）有穷方法来研究此公理系统内的证明，如能断定此种证明不会导致逻辑矛盾，则此系统的一致性得证。 完全形式化的公理系统或形式系统 论证一致性必须考察一理论里一切可能写出的推导或证明。这是“证明论”命名之由来。证明论要求将一数学分支和其中推导所用的逻辑演算综合在一起组成一个完全形式化的公理系统。这样，系统里的证明才可以有严格定义，并且一个公式序列是否为一证明也可以根据一定的机械方式以有穷步骤能行地判定。现代逻辑可以在思想和符号之间建立对应关系。在某一系统的基本符号给定以后，根据关于符号的规则，一符号序列是否为一公式，从一组公式是否可以变换为某一公式，一公式序列是否为一证明，这些都可以能行地判定。符号的规则属于系统的语法部分。符号需有解释，解释的规则属于语义部分。语法和语义是形式系统的两个组成部分。初等数论、集合论和数学分析的形式系统都是证明论的对象。 有穷方法和元数学发展过程实无穷既是引起一致性问题的原因之一，古典逻辑演算也假定了实无穷，因而在论证古典数学无矛盾时，不能再用以实无穷为前提的思想方法，只能用有穷方法，否则即为循环论证。有穷方法的特征是,每一步骤只考虑确定的有穷数量的对象,承认潜无穷，而不处理任何已完成的包括无穷对象的整体。逻辑里的全称命题表达一条规律，此规律对于每一给定对象必须能得到判定。存在命题应能直接给出，或能给出其步骤有特定界限的、求得某对象的方法。排中律在某些涉及潜无穷的情况下不能适用。由于研究形式系统需要用数论，递归算术恰好就是不假定实无穷的初等数论。这样建立起来的逻辑和数论称为“元数学”。 何为元数学一般来说，元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识。更进一步来说，元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学。“数学的数学”是于19世纪初由通常的数学分离出来的，它最初研究的对象是在所谓的数学危机。将二者混为一谈会导致一些矛盾，典型例子有理查兹悖论。 所谓“形式主义”问题希尔伯特有关数学基础的理论有时被称为形式主义。希尔伯特并不自命为形式主义。许多专业文献只讲他的证明论而不用“形式主义”名称。严格意义的形式主义是那种割裂形式和内容的思想方法。相反地，希尔伯特却经常强调符号与其内容的联系。他认为，思想恰好是与说和写并行的，公式是发展至今日的通常数学思想的复制品等等。事实上，遭到非议较多的是他的理想元素理论。对此，罗素和布劳维尔批评他说，逻辑上无矛盾不必就是存在。但希尔伯特曾表示,逻辑上一致只保证了“数学的存在”,理想元素的作用在于从它可以得出关于现实的命题。他还在《论无穷》(1925)一文里指出，除了一致性证明外，如果要进一步说明某一措施为合理，那就要看有无相应的成果伴随而来。成果在这里是最高的裁判所。问题在于希尔伯特既然认为，物理科学不能提供实无穷的根据，那么理想元素是不是客观的存在，而他对此似乎没有进一步的见解。 希尔伯特方案于20年代形成。当时他还未意识到论证古典数学一致性的本质困难，以为只要做足够的努力就可以得到所希望的结果。1931年K.哥德尔发表著名论文《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》，严格地证明了：如果一个包括初等数论的形式系统是一致的，那么其一致性不能用有穷方法甚至不能用一阶谓词演算和初等数论的方法证明。此定理给希尔伯特方案以沉重打击。希尔伯特等人随即决定将有穷方法稍加扩充，增加超穷归纳作为元数学的工具。此后不久G.根岑(1909～1945)于1936年就用超穷归纳法证明纯粹数论的一致性。这已经不是严格意义的有穷方法了。 哥德尔定理和过渡时期希尔伯特方案反映了30年代前数学基础的争议，目的是用有穷方法研究包括逻辑和古典数学的形式系统的元逻辑性质，特别是一致性问题。在1928～1936年内主要通过哥德尔的工作，正面或反面地得到了几个最重要基础理论的解答。在方法论方面数学地精确地描述了直观的机械过程，推动了递归函数论的研究，为数理逻辑发展的第三阶段准备了条件。 哥德尔的完全性定理1928年希尔伯特和W.阿克曼(1896～1962)合著的《理论逻辑基础》第一版首先把一阶逻辑分离出来并证明其一致性。同年希尔伯特在波劳亚数学会上提出逻辑演算的完全性问题。哥德尔于1929年秋完成并于1930年发表了博士论文的修改稿《逻辑谓词演算公理的完全性》，其主要内容是证明：一阶谓词演算的有效公式皆可证。同时也证明了紧致性定理和勒文海姆 -司寇伦定理（见司寇伦定理）。他在证明里使用了J.克尼希无穷引理和古典排中律。 两个不完全性定理1930年夏，哥德尔着手考虑数学分析的一致性。与希尔伯特不同，他想分为两个步骤进行，先用有穷方法证明数论一致，然后再用数论来论证分析的一致性。在数论方面他很快得到决定性结果，于1931年发表《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》一文，此文包括两个著名定理。按照第一不完全性定理，一个包括初等数论和一阶逻辑的形式系统S，如果一致，那么就是不完全的。在证明里,他使用了有穷观点的逻辑和原始递归算术,并通过配数法，在S中表示关于 S的语法命题。哥德尔还利用对角线法构造了一个断定其自身在S中不可证的命题 A，并且说明，A和├A在S中皆不可证。由于A和├A二者必有一真，真而不可证，因之S不完全。在证明第二个不完全性定理时,哥德尔的基本论证是,由于“系统S一致”可在S中表示,记为Con(S)，同时 A即表示“A在S中不可证”，因之第一不完全性定理可在 S中表示为 ├Con(S)→A从以上公式可见,如Con(S)可证, 那么就有├A；这显然与第一不完全性定理相矛盾，不能成立。因此，第二不完全性定理断定：如果一个包括古典数论的形式系统是一致的，则其一致性不能在此系统中得到证明，同时当然也不能用有穷方法证明。这一重要的发现给希尔伯特方案以很大的冲击。 推动递归论的研究数理逻辑中的有穷方法是一种能行的理论。能行方法可以说是机械的过程，也就是根据预先给定的规则用有穷步骤可以完成的。“预先给定的规则”和机械过程都是直观概念，对于它们必须有精确的数学描述。根据J.艾尔布朗(1908～1931)1931年的建议，哥德尔于1934年提出一般递归作为能行性的定义（见能行性和一般递归）。1933～1936年A.丘奇 (1903～ )和S.C.克利尼 (1909～ )构造了λ可定义演算，证明了λ可定义性和一般递归的等价关系。1936年丘奇提出能行可计算函数即是递归函数或λ可定义函数的论题。1936年也出现了E.波斯特（1897～1954）的组合生成系统。1936～1937年英国学者 A.M.图林(1912～1954)在分析了计算过程的简单步骤及其组合以后,设计一种抽象机器以体现计算方法，得到了图林可计算性概念。他又证明了图林可计算性和λ可定义性为相互等价。他们的这些工作和后来应用的成效阐明了上述几个等价函数即为能行可计算性或机械程序的数学描述。 哥德尔有独立的哲学思想和学术观点，并不属于希尔伯特学派。他认为，他对于古典数学和超穷思想方法都持有“客观主义”的态度，他还认为，他所以能得到某些重要结果和他的学术思想密切相关。他澄清了第二阶段提出的问题，为数理逻辑奠定了基础。他的工作促使逻辑的某些部分转化为数学的分支，并推动数理逻辑进入第三阶段。 目前的发展阶段30年代后期数理逻辑进入发展的第三阶段。证明论尽管未能达到预期目的，元数学却获得丰富成果。由于使用愈益增加的数学工具，研究对象也大多为数学思维和数学基础问题，数学逻辑已成为数学大家庭的成员。目前其中心内容大致可以再分为 5个部分：证明论、集合论、递归论、模型论和各种逻辑系统的研究。前 4个分支各有其中心课题，近年来都有长足和重大的进展。最后一个分支的方向是用古典演算的元逻辑方法来处理各种非经典逻辑系统，如模态逻辑、多值逻辑、时态逻辑、模糊逻辑等等。40年代以后从事非经典逻辑研究的学者和文献逐渐增多，在各方面的作用也不同程度地显示出来。除此 5个分支外，数理逻辑和理论计算机科学有深刻的联系，有关程序语言和计算性理论的研究正在蓬勃地发展。 |
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