舒尔（Schur）不等式

舒尔不等式推广

舒尔（Schur）不等式

说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：已知x,y,z>=0

则∑(x^t)(x-y)(x-z)>=0

当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。

舒尔(schur)不等式的证明：

不妨设x>=y>=z

∑x(x-y)(x-z)

=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)

>=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)

>=x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z)

=(x-y)^2(y-z)

>=0

t不是1时同理可证

事实上，当t为任意实数时，我们仍可证明Schur不等式成立。

Schur不等式虽不是联赛大纲中规定掌握的不等式，但在联赛不等式证明题中仍能发挥重要作用。

等价形式：(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)<=xyz 这个就是2000年IMO试题

还有如果x,y,z是三角形三边,那么就等价于cosA+cosB+cocC<=3/2

同上若是三边,就等价于R>=2r

舒尔不等式推广

假设a、b、c是正的实数。如果（a，b，c）和（x，y，z）是顺序的，则以下的不等式成立：

2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：

考虑，其中，而且要么，要么。设，并设要么是凸函数，要么是单调函数。那么：

当x = a、y = b、z = c、k = 1、ƒ(m) = m^r时，即化为舒尔不等式。