实数

历史(从有理数构作实数 公理系统)

实数域的特性(连续性 有序性 阿基米德性 完备性)

实数

实数，是一种能和数轴上的点一一对应的数。本来实数只叫作“数”，后来引入的虚数概念，数系扩充到复数系，原本的数便称作“实数”，意义是“实在的数”。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零。实数集通常用字母R表示。而用 Rn 来代表 n维实数空间 （n-dimensional real space）。

实数是可以用来测量连续的量的。实数的个数是无穷的。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数（floating point numbe）

历史

埃及人早在公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们就意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数，中国也曾发明负数，但稍晚于印度。在1871年，德国数学家康托尔最早地全面地给出了实数的定义。

从有理数构作实数

实数可以不同方式从有理数（即分数）构作出来。

公理系统

设 R 是所有实数的集合，则：

集合 R 是一个体：可以作加、减、乘、除、乘方运算，且有如交换律，结合律等运算律。

集合 R 是有序的：设 x, y z∈R，则：

若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;

若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0.

集合 R 是完整的：设 R 的一个非空的子集S，如果S在R内有上限，那么S在R内有最小上限。

最后一条是区分实数和有理数的关键。例如：所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上限， 但是不存在有理数最小上限（√2）。

实数是唯一适合以上特性的集合：亦即如有两个如此集合，则两者之间必存在代数学上所称的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

实数域的特性

连续性

数轴上的任何一点都可以用一个实数来表示，每个实数也对应着数轴上的一个点，可见全体实数正好铺满了数轴，这个性质称为实数的连续性。

有序性

对于任意a，b ∈R，必满足下述三个关系之一：

(i) a<b

(ii) a=b

(iii) a>b

阿基米德性

对任意a，b ∈R，若a>0，b>0，则存在正整数n，使得na>b.

推论： 任意两个不相等的实数间必然存在一个有理数。（1）

证明：

设α，β∈R，且α<β。由阿基米德性，必存在自然数N，使得N(β-α)>1，即β-α>(1/n)

任意取定有理数γ(0)<a，由于（1/N)>0，a-γ(0)》0，故由阿基米德性，存在m∈N，使得γ(0)+(m/N)>α.可见，数列{γ(0)+(m/N)}中总有一项大于a.

设 γ(0)+(n(0)/N) 为此数列第一个大于α的项，于是γ(0)+(n(0)-1)/n ≤ α，故

γ(0)+(n(0)/N)-β≤a-(n(0)-1)/N+(n(0)/N)-β

=a+(1/N)-β

<0

即 α< γ(0)+(n(0)/N)<β，而 γ(0)+(n(0)/N)显然为有理数，即证。

类似可以证明：任意两个不相等的实数之间必存在一个无理数。于是有：任意两个不相等的实数之间必有一个实数。

（1）也可以描述为：在任意一个区间（α,β）内都存在有理数。

由此可见，有理数在实数集中是密集分布的，但仍有“缝隙”，这些“缝隙”则有无穷多的无理数填满。

完备性

①所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

②有理数集并非拓扑完备，例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, …) 是有理数的柯西序列却没有有理数极限。但它却有个实数极限 √2。实数集是有理数集的空备化——这亦是其中一个构作实数集的方法。

极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里得几何的直线没有“空隙”。