十一色定理 - 起源又叫Heawood定理。人类在企图证明四色定理过程中，发现了在曲面上作图，反而更加容易。1974年德国的林格和美国的杨斯证明了：Np=[(7+√1+48P)/2].证明这个公式，数学家用了78年。P是指这个曲面的洞的个数，又叫亏格。当亏格为5时：N5=[(7+√1+48×5)/2]=11；

公式和公式的证明来自：

《图论导引》214页，机械工业出版社，

《图论导引》258页，人民邮电出版社。

王晓明杜撰，李恒嘉安装。理 - 介绍

. 并且给出了这个需要11种颜色染色的图形：

上图（图1）是全景图，上面是外环的平面图。平面图上下对折再左右对折就是一个轮胎形状。

下图就是有7个区域两两相连，再把含有区域8和区域9和区域10区域11的五叉管子安装在轮胎上的含有区域8和区域9和区域10区域11ABCD的位置上，就是一个有5个洞的曲面，有11个区域两两相连。 亏格为5时有11个区域两两相连 。

有个洞的曲面有11个区域两两相连。上图上下对折再左右对折形成一个轮胎形状，再把下面的五叉按照11ABCDE安装在相应位置

表明：在有五个洞的曲面上染色，10种颜色是不够的。

如果能够将一个图G画在平面上，使得他的边仅仅在端点相交，则称这个图是可以嵌入平面的，或者称其为平面图。上面文章摘自百度文库。