盛金公式判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；

公式简介

盛金公式(盛金公式 盛金判别法 盛金定理)

公式特点

发表刊物

正确理解

解题举例

公式简介

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

盛金公式

盛金公式

Shengjin's Formulas一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，

总判别式：Δ=B^2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：

X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)；

X(2,3)=(－2b+Y⑴^(1/3)+Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)，

其中Y(1, 2)=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。

当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，

其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：

X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；

X(2,3)=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，

其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。

盛金判别法

Shengjin's Distinguishing Means

①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；

②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭复根；

③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

盛金定理

Shengjin's Theorems

当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。

盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。

盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1<T<1。

显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。

公式特点

当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。简明易记，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方）。盛金公式③手算解题效率高。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

发表刊物

以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP·91—98 .

正确理解

学习“盛金公式解题法”要正确理解。

1、要把盛金公式、盛金判别法、盛金定理有机地结合起来正确理解，不可分割。

例如：

当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：

X⑴=－b/a+K；

X⑵=X⑶=－K/2，

其中K=B/A，(A≠0)。

这里A≠0，是指分母不能为0，因为分母为0无意义。

但并非A≠0的一切值都有可能出现在盛金公式③。

shufubisheng在2010-06-01 23:29把“盛金公式”的词条“盛金判别法”中的“③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根”修改为“③：当Δ=B^2－4AC=0且A≠0时，方程有三个实根，其中有一个两重根”。修改理由是：“当Δ=B^2－4AC=0时，不是‘方程有三个实根，其中有一个两重根’的充分条件”。事实上，这样表述是错误的。

这是因为没有正确理解盛金公式解题法。把盛金公式、盛金判别法、盛金定理分割开来理解。

注意：A≠0与A≤0是不一样的。

例如：—5≠0，但是—5<0。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。

根据盛金定理7，盛金公式③一定不会出现A=—5这样的值。

举一个具体的例子：

X^3－2X^2+3X+R=0

a=1，b=－2，c=3，d=R。

A=－5<0。

根据盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0。

可知，无论d=R为任何实数，这个方程必定有Δ>0。

如：取R=1，则方程为

X^3－2X^2+3X+1=0

a=1，b=－2，c=3，d=1。

A=－5；B=－15；C=15，Δ=525>0。

取R=±1，R=±2，……，这样继续下去，根据盛金定理5，这个方程永远都是Δ>0。

就是说，这个方程不可能出现Δ=0的值。显然，A=－5<0这样的值不可能出现在盛金公式③。

如果当Δ=B^2－4AC=0时，仅限于A≠0，那么A=—5≠0这样的值就有可能出现在盛金公式③中。根据盛金定理7，盛金公式③不可能出现A=—5<0这样的值，这与事实不符，显然这样表述是错误的。

根据盛金定理5及盛金定理7，这很清楚：A=—5<0这样的值，只有可能出现在盛金公式②，而不可能出现在盛金公式③。

2、解题过程中要正确理解和掌握方法，有利于提高解题效率。

⑴、当A=B=0时，有Δ=0。但此时没有必要计算Δ=0的值。

根据盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。

根据盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。

所以，只要当A=B=0时，没有必要计算C与Δ的值，直接套用盛金公式①解题即可。

⑵、当Δ=0时，根据盛金判别法或盛金定理7，直接套用盛金公式③解题即可。

就是说，当A=B=0时，（有Δ=0），直接套用盛金公式①解题；当Δ=0时，若B≠0，直接套用盛金公式③解题。

总之，学习“盛金公式解题法”要把盛金公式、盛金判别法、盛金定理有机地结合起来正确理解，才会收到更好的学习效果。

其实很简单，盛金公式、盛金判别法、盛金定理是有机联系的、是清晰的，在解题中直接套用（对号入座）就可以了。

解题举例

运用盛金公式解题的步骤：

1、写出系数a、b、c、d的值（以免当b=0时，误把c的值当b的值输入计算器）；

2、按顺序求出A、B、C、Δ的值；

3、根据盛金判别法套用相应的盛金公式即可得出正确结果。

举例：

（使用科学计算器辅助运算）

例1、解方程X^3+5.4X^2+9.72X+5.832=0

解：a=1，b=5.4，c=9.72，d=5.832。

A=0；B=0。

∵A=B=0，∴应用盛金公式①求解，得：

X⑴=X⑵=X⑶=－1.8。

例2、解方程2X^3+11X^2+182X+255=0，

解：a=2，b=11，c=182，d=255。

A=－971；B=－2588；C=24709，Δ=102667500。

∵Δ>0，∴应用盛金公式②求解。

Y⑴=27480.49167；Y⑵=－33314. 49167。

把有关值代入盛金公式②，得：

X⑴=－1.5；X(2,3)=－2±9i。

例3、解方程X^3+5.5X^2+9.92X+5.888=0

解：a=1，b=5.5，c=9.92，d=5.888。

A=0.49；B=1.568；C=1.2544，Δ=0。

∵Δ=0，∴应用盛金公式③求解。

K=3.2。

把有关值代入盛金公式③，得：

X⑴=－2.3；X⑵=X⑶=－1.6。

例4、解方程100X^3－420X^2+467X－105=0

解：a=100，b=－420，c=467，d=－105。

A=36300；B=－101640；C=85789，Δ<0。

∵Δ<0，∴应用盛金公式④求解。

θ=90°。

把有关值代入盛金公式④，得：

X⑴=3/10；X⑵=5/2；X⑶=7/5。

经用韦达定理检验，以上结果正确（过程略）。

例5、一建筑物的楼顶要建一个储水池，按施工的设计要求，这个储水池的长、宽、高之和为67.4dm，且宽=高，满储水量为9539.712(dm)^3，立体对角线为1706.92dm，问：如何施工才能达到设计要求？

解：设取长、宽、高分别为X⑴、X⑵、X⑶，依题意：

X⑴+X⑵+X⑶=67.4；

X⑴X⑵X⑶=9539.712；

X⑴^2+X⑵^2+X⑶^2=1706.92。

解这个方程组。

根据韦达定理，得一元三次方程：

X^3－67.4X^2+1417.92X－9539.712=0

a=1，b=－67.4，c=1417.92，d=－9539.712。

A=289；B=－9710.4；C=81567.36，Δ=0。

根据盛金判别法，此方程有三个实根，其中两个相等。

应用盛金公式③求解。

K=—33.6。

把有关值代入盛金公式③，得：

X⑴=33.8(dm)；X⑵=X⑶=16.8(dm)。

经检验，结果正确。

∵ 宽=高，

∴ 应取长为33.8dm；宽=高=16.8dm来进行施工。

只要熟练操作科学计算器，就可方便运用盛金公式解任意实系数的一元三次方程。