点在直线上的射影

点在平面上的射影

图形在平面上的射影

向量的射影

射影定理(简介)

任意三角形射影定理

点在直线上的射影

定义1：自点P向直线a引垂线所得到的垂足Q叫做点P在直线a上的射影。

平面中，过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，其垂足唯一，故点在直线上的射影唯一，定义合理。

点在平面上的射影

定义2：自点P向平面α引垂线所得到的垂足Q叫做点P在平面α上的射影。

空间中，过一点（平面上或平面外）有且只有一条直线与已知平面垂直，其垂足唯一，故点在平面上的射影唯一，定义合理。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

图形在平面上的射影

定义3：如果图形F上的所有点在一平面上的射影构成的图形F' ，则 F' 叫做图形F在这个平面上的射影.

由定义1与定义2的说明可知，图形在平面上的射影是唯一的。

特别地，直线在平面上的射影的情况：

情况1，直线平行于平面，

任取直线上两点，分别做平面垂线，连接平面内两个垂足，连成的直线就是直线在平面上的射影 。

情况2，直线与平面斜交

任取直线上平面外一点，做平面垂线，连接垂足和 斜足所得到的直线，就是直线在平面上的射影。

情况3，直线与平面垂直

此时直线上的点在平面上的射影都是同一点——垂足，故垂足就是直线在平面上的射影。

向量的射影

设单位向量e是直线m的方向向量，向量AB=a，作点A在直线m上的射影A'，作点B在直线m上的射影B'，则向量A'B' 叫做AB在直线m上或在向量e方向上的正射影，简称射影。向量A'B' 的模∣A'B'∣=∣AB∣·∣cos〈a，e〉∣=∣a·e∣。

注：射影是几何里的用语，而射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何联系起来。

射影几何的某些内容在公元前就已经发现了，基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。但直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。

1822年法国数学家彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。

射影几何学在航空、测量、绘图、摄影等方面有广泛的应用。

附：正射影的数量又称正投影

射影定理

直角三角形射影定理

简介

所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

（1）BD^2=AD·DC， （2）AB^2=AD·AC ， （3）BC^2=CD·CA 。

等积式 （4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）

直角三角形射影定理的证明

证明：（主要是从△ABC中的相似三角形的比值推算过来的）　一、

在△BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，

∴∠A=∠DBC，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD^2=AD·DC。其余类似可证。(也可以用勾股定理证明)

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

有射影定理如下：

AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA

两式相加得：

AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2,

即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）。

二、

已知:三角形中角A=90度,AD是高.

用勾股证射影

∵AD=AB-BD=AC-CD,

∴2AD=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.

故AD=BD×CD.

运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.

综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。

任意三角形射影定理

任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b·cosC+c·cosB，

b=c·cosA+a·cosC，

c=a·cosB+b·cosA。

注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其它的。