定义(三重积分的定义 体积元素 直角坐标系中的体积元素 术语)

性质(性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 性质6)

计算方法(1直角坐标系法： 2柱面坐标法： 3球面坐标系法：)

定义

三重积分的定义

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分。

体积元素

设三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域Ω上,将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=1,2,3,…,n),并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点(ξi,ηi,ζi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi,ζi)Δvi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dv,即

∫∫∫f(x,y,z)dv=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi,ζi)Δδi），其中dv叫做体积元素。

直角坐标系中的体积元素

在空间直角坐标系中，也把体积元素dv记做dxdydz，而把三重积分记做∫∫∫f(x,y,z)dxdydz.其中dxdydz叫做空间直角坐标系中的体积。

术语

∫∫∫‥‥‥三重积分号

f(x,y,z)‥‥‥被积函数

f(x,y,z)dv‥‥‥被积表达式

dv‥‥‥体积元

x,y,z‥‥‥积分变量

Ω‥‥‥积分区域

Σf(ξi,ηi,ζi)Δδi‥‥‥积分和

性质

性质1

线性性质：

设α、β为常数，则 ∫∫∫[αf(x,y,z)+βg(x,y,z)]dv=α∫∫∫f(x,y,z)dv+β∫∫∫g(x,y,z)]dv。

性质2

如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

性质3

如果在G上，且 f(x,y,z)═1，v为G的体积，则 v═∫∫∫1dv═∫∫∫dv.

性质4

如果在G上，f(x,y,z)≤φ(x,y,z)，则有 ，∫∫∫f(x,y,z)dv≤∫∫∫φ(x,y,z)dv，特殊地，∫∫∫f(x,y,z)dv∣≤∫∫∫f(x,y,z)dv.

性质5

设M、m分别为f(x,y,z)在闭区域G上的最大值和最小值，v为G的体积，则有 mv≤∫∫∫f(x,y,z)dv≤Mv.

性质6

设函数f(x,y,z)在闭区域G上连续，v是G的面积，则在G上至少存在一个点(ζ,η,μ)使得

∫∫∫f(x,y,z)dv═f(ζ,η,μ)v

计算方法

1直角坐标系法：

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

（1）先一后二法（投影法）：先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：f（x,y,z）仅为一个变量的函数。

（2）先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

2柱面坐标法：

适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设x2+y2=a2,x=asinθ,y=acosθ

①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；

②函数条件：f（x,y,z）为含有与x2+y2（或另两种形式）相关的项。

3球面坐标系法：

适用于被积区域Ω包含球的一部分。

①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；

②函数条件：f（x,y,z）含有与x2+y2+z2相关的项。