证明

全向量证明

在三面角O-ABC中，设二面角B-OA-C为∠OA，则有：cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC=cos∠BOC。

证明

在OA上取一点D，过D作OD的垂线ＤＥ、ＤＦ分别交ＯＢ、ＯＣ于E与F。接着使用向量证明。

考虑有向线段OD、OE、OF、DE、DF。易知：

cos∠OA=DE·DF/(DE×DF)

sin∠AOB=DE/OE

sin∠AOC=DF/OF

cos∠AOB=OD·OE/(OD×OE)

cos∠AOC=OD·OF/(OD×OF)

cos∠BOC=OE·OF/(OE×OF)；

则实际是要证明：

DE·DF/(DE×DF)×DE/OE×DF/OF+OD·OE/(OD×OE)×OD·OF/(OD×OF)=OE·OF/(OE×OF)

再利用OD·OE=OD·OF=OD^2，可得出原式等价于

OD^2+DE·DF=OE·OF；

显然的，OE·OF=（OD+DE）·（OD＋DF）=OD^2+OD·DE+OD·DF+DE·DF，

注意到OD·DE=OD·DF=0，即可证明原式。

全向量证明