三角比（trigonometric ratio）是三角学的基本概念之一，指三角函数定义中的两线段的数量比。 定义锐角三角函数时，是指含此锐角的直角三角形中任意两边的比。定义任意角三角函数时，是指角的终边上任意一点的纵、横坐标和原点到这点的距离三个数量中任意两个的比。

三角比(锐角三角比的定义 同角的三角比关系 互为余角的三角比关系 直角三角形边、角关系 任意角的三角比)

常用的诱导公式有以下几组(公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 诱导公式记忆口诀)

其他三角函数知识(同角三角函数基本关系 两角和差公式 倍角公式 半角公式 万能公式 三倍角公式 和差化积公式 积化和差公式)

三角比

锐角三角比的定义

sinA=角A的对边/斜边

cosA=角A的邻边/斜边

tanA=角A的对边/邻边

cotA=角A的邻边/对边

同角的三角比关系

sin^2A+cos^2A=1

tanA×cotA=1

互为余角的三角比关系

sinA=cos(90-A)

cosA=sin(90-A),

tanA=cot(90-A)

cotA=tan(90-A)

直角三角形边、角关系

边与边a^2+b^2=c^2

角与角∠A+∠B=90°

边与角：锐角三角比概念

所以，历史上三角函数曾有三角比之称，三角比不只是三角函数，两者之间还有一定的差别。

任意角的三角比

象限角：定点在平面直角坐标系的原点，始边与x轴重合的角

其三角比的定义：

正弦sinθ=y/r

余弦cosθ=x/r

正切tanθ=y/x

余切cotθ=x/y

正割secθ=r/x

余割cscθ=r/y

常用的诱导公式有以下几组

公式一

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

公式二

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=－cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）=－sinα

cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα

公式六

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

sin（3π/2+α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=－cotα

cot（3π/2+α）=－tanα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα

(以上k∈Z)

诱导公式记忆口诀

规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，

①当k是双数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是单数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（单变双不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）

例如：

sin(2π－α)=sin(4·π/2－α)，k=4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)<0，符号为“－”。

所以sin(2π－α)=－sinα

上述的记忆口诀是：

单变双不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；

第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；

第三象限内切函数是“+”，弦函数是“－”；

第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”．

还有一个与英语有关的记忆口诀，来判断符号。

All Station To Center.每个站都能到中央车站。

All 代表第一象限内所有都为正。

Station 开头字母S代表Sin，第二象限只有Sin为正。

To 开头字母T代表Tan，第三象限只有Tan为正。

Center 开头字母C代表Cos，第四象限只有Cos为正。

做题时若需要考虑正负，一下子想不起来，可画简略坐标，在四个象限非别表上A S T C，就一目了然了。

其他三角函数知识

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα ·cotα=1

sinα ·cscα=1

cosα ·secα=1

商的关系：

tanα=sinα/cosα或者tanα=secα/cscα，可以简记为s/c

cotα=cosα/sinα或者cotα=cscα/secα，可以简记为c/s

平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α)

1+cot^2(α)=csc^2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）

构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。

（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

tan（α+β）=(tanα+tanβ) / (1－tanα ·tanβ)

tan（α－β）=(tanα－tanβ) / (1+tanα ·tanβ)

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)－sin^2(α)=2cos^2(α)－1=1－2sin^2(α)

tan2α=2tanα / [1－tan^2(α)]

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sin^2(α/2)=(1－cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1－cosα) / (1+cosα)

*tan(α/2)=sinα / (1+cosα)=(1-cosα) / sinα

万能公式

⒌万能公式

sinα=2tan(α/2) / [1+tan^2(α/2)]

cosα=[1－tan^2(α/2)] / [1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2) / [1－tan^2(α/2)]

万能公式推导

附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα / (cos^2(α)+sin^2(α))......*，

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=tan2α / (1+tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα－4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)－3cosα

tan3α=[3tanα－tan^3(α)] / [1－3tan^2(α)]

三倍角公式推导

附推导：

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα

=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^2(α)

=3sinα－4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα

=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))

=4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α=3sinα－4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）

注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[( α－β)/2]

sinα－sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α－β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α－β)/2]

cosα－cosβ=－2sin[(α+β)/2]·sin[(α－β)/2]

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sinα ·cosβ=0.5[sin（α+β）+sin（α－β）]

cosα ·sinβ=0.5[sin（α+β）－sin（α－β）]

cosα ·cosβ=0.5[cos（α+β）+cos（α－β）]

sinα ·sinβ=－ 0.5[cos（α+β）－cos（α－β）]

和差化积公式推导

附推导：

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)