摘 要

[定义]

应用举例

概率论中定理

设实验E的样本空间为S,A为E的事件,B1,B2,...,Bn为S的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,...,n),则

P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + ... + P(A|Bn)*P(Bn).

上式称为全概率公式

摘 要

：全概率公式是概率论的一个基本公式，有着多方面的应用，深入讨论了它的使用条件，从而更便于应用。

关键词：全概率公式；完备事件组；应用

概率论中经常要从已知的简单事件的概率去求未知的复杂事件的概率，即将复杂事件分解为若干个简单事件，通过这些简单事件的概率来求复杂事件的概率。形成定理就是我们经常用到的全概率公式。为了说明全概率公式，我们先引入如下定义：

[定义]

：若事件A1，A2，…，An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。

全概率公式的形式如下：

[定理]：若事件A1，A2，…构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件B，有

以上公式就被称为全概率公式。从定理可看出公式使用的前提是简单事件A1，A2，…要构成一个完备事件组。但是我们使用中发现有时简单事件A1，A2，…并不构成完备事件组，但是?

同样可以使用上述定理来解决问题。因此定理条件可放宽为：A1，A2，…互不相容且

因此，全概率公式的一般形式可写为：

[补充定理]：若事件

且概率均大于零。则对任意一个事件B，有

应用举例

我们来看一个简单的例子：

例：高射炮向敌机发射三发炮弹，每弹击中与否相互独立且每发炮弹击中的概率均为0.3，又知敌机若中一弹，坠毁的概率为0.2，若中两弹，坠毁的概率为0.6，若中三弹，敌机必坠毁。求敌机坠毁的概率。

解：设事件B=“敌机坠毁”；Ai=“敌机中 弹”；i=0,1,2,3

实际上我们从题目知道应该是A0,A1,A2,A3构成完备事件组，但是敌机坠毁只和A1,A2,A3有关，即

，则我们可用如下公式

则