古希腊的安提芬(Antiphon 480-403BC)最早表述了穷竭法，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。

后来，古希腊数学家欧多克斯(Eudoxus of Cnidus, 408-355 BC)改进了安提芬的穷竭法。将其定义为：“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”。

古希腊数学家阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积。阿基米德最早使用穷竭法进行了积分运算，是微积分学的先驱。穷竭法被后人称为阿基米德原理。

例如，计算y=x^2与x轴在x=0和x=1之间围成的曲边三角形的面积，把底边[0,1]分成n等分，分点分别是1/n,2/n,…(n-1)/n,然后在每个分点处作底边的垂线，这样曲边三角形被分成了n个窄条，对每个窄条，近似用矩形条替代。每个矩形的底宽1/n,高(i/n)^2(i=0,1,2,…,n-1),把这些矩形条加起来，得到S的近似Sn:

Sn=0·(1/n)+(1/n)^2·(1/n)+(2/n)^2·(1/n)+…+[(n-1)/n]^2·(1/n)=1/n^3·[n(n-1)(2n-1)/6]=1/6·(1-1/n)(2-1/n)

对每个n,都可以算出相应的Sn的值,一方面,随着n的增大Sn的值,来越接近S.但另一方面,所得的Sn始终都是S的近似值，为了得到S的精确值，使n无限制的增大，从几何上看，面积Sn的那个多边形越来越贴近曲边三角形，即阿基米德所说的穷竭曲边三角形，从数值上看，Sn无限接近一个确定的数，这个数就是曲边三角形的面积S，这个数等于1/3,当年，阿基米德就是通过这个方法求得结果.

用穷竭法计算曲边形的面积时，对不同的曲边形，采用不同的直边形去逼近。并且计算的过程中采用了特殊的技巧，因而不具有一般性，无法向一般的曲边形推广.