定义

强可导的历史

强可导定义下导数的唯一性证明

一些常用结论

对导数的另行定义，第三代微积分的产物。简化了寻常导数定义。将寻常导数定义通过一个不等式表现出来，脱离极限思想与柯西——威尔斯特拉斯的ε语言。使导数及微积分的内容得以初等化，使得微积分基本定理的证明更简单。

定义

设函数y=F(x)在区间K:[a,b]上有定义。若在K上有一函数f(x),正数M和正整数r=1/α,使得对K上有任意的x和x+h，有下列不等式:

|F(x+h)-F(x)-f(x)·h|≤M·h^(1+α) ①

或等价的不等式:

|[F(x+h)-F(x)]/h-f(x)|≤M·h^α

则称F(x)在K上广义强可导,并称f(x)是F(x)的导函数，简称为F(x)的导数，记作F'(x)=f(x),或y'=f(x),或dy/dx=f(x)。

当r=α=1时称y=F(x)在K上强可导。

不等式①也可写成等价的等式形式

F(x+h)-F(x)=f(x)+M(x,h)·h^(1+α) ②

其中M(x,h)在T={P|P=(x,h):x∈K,x+h∈K,h≠0}上有界。

一般的，若K为开区间或半开半闭区间，而y=F(x)在K的任意闭子区间上广义强可导,则称F(x)在K上强可导。

强可导的历史

由牛顿和莱布尼兹创建的微积分，是第一代的微积分。第一代微积分，是说不清楚的微积分。创建者说不清楚，使用微积分解决问题的数学家也说不清楚。微积分的原理虽然说不清楚，其应用仍然在蓬蓬勃勃地发展。微积分就这样在说不清楚的情形下向前发展了130多年。

由柯西和维尔斯特拉斯等，建立了严谨的极限理论，巩固了微积分的基础，这是第二代的微积分。第二代的微积分是说清楚了的，但是由于概念和推理繁琐迂回，对于绝大多数学习高等数学的学生来说，是听不明白的微积分。微积分就这样在多数学习者听不明白的情形下，又发展了170多年，直到今天。

第三代的微积分，是正在创建发展的新一代的微积分。人们希望微积分不但严谨，而且直观易懂，简易明快。让学习者用较少的时和精力就能够明白其原理，不但知其然而且知其所以然。不但数学家说得清楚，而且非数学专业的多数学子也能听得明白。

第一代微积分和第二代微积分，在具体计算方法上基本相同。不同的是对原理的说明，前者说不清楚，后者说清楚了。

导数还可以这样初等化（哲学说清第二代微积分）　应该说无穷小量，起源于微积分学。例如，我们研究二次函数y=x^2的变化率。首先，我们考察y=x^2这一法则下在某一点p(x0，y0)的Δy/Δx。 Δy/Δx=[(x0+△x)^2-x0^2]/△x =[x0^2+2x0△x+△x^2-x0^2]/△x =(2x0△x+△x^2)/△x =(2x0+△x)*(△x/△x) =2x0+△x 现在我们取极限（最终形态），令△x=0：此时我们就有所谓的极限limΔy/Δx=2x0 然而，这种推导在逻辑上是有一个漏洞的。该结论的前提是我们在令△x=0时，依旧坚持△x/△x=1！△x/△x=1的存在则否定了令△x=0的假设，这里的△x/△x=1绝不会是0/0=1（因为0/0到底是多少无从可知！）。 说白一点就是在推导过程中，先要假设△x≠0，否则就无法把它作为分母，更不能把它约掉从而得出2x0+△x；当我们得出2x0+△x，就立刻出尔反尔的让△x=0来得到2x0。既然，一开始2x0+△x是在△x≠0的条件下得到的，凭什么最后又让△x=0呢！ 微积分的创始人之一牛顿，给出的解释是：“△x是一种无穷小量，无穷小量是一个数变成0之前的最后形态，它的绝对值比任何正数都小。因为△x不是0，所以可以做分母，并可以约掉；又因为△x的绝对值比任何正数都小，所以在2x0+△x中可以忽略不计，于是2x0+△x就等于2x0了。 无穷小量的神秘性在于：它如果是数，数在变成0之前还是数，哪有什么“绝对值比任何正数都小”的最后形态？如果是数，有何理由能够像数一样的运算。　两种逻辑的交锋（人的逻辑pk自然界的逻辑）： 上面的分析就算是第一种逻辑（人的逻辑）。我们得到了逻辑漏洞，如果要避免漏洞该怎么办呢？很简单老老实实的按照数学的规则，顺其自然呗： 也就是这样Δy/Δx=[(x0+△x)^2-x0^2]/△x =(2x0+△x)*(△x/△x) 的式子中令△x=0有Δy/Δx=(2x0+△x)*(△x/△x) =（2x0+0)*(0/0) =0/0（得到这么一种东西！） 事实上我们从形而上学的角度，能够预先知道Δy/Δx在△x=0时，确实是0/0（根本算都不用算！）问题是：0/0有用（实在用途）吗？而且我们可以把0/0与2x0 2x0当做一回事吗？即0/0=2x0了（一些人说是不定式，对吗！） 导数说是研究函数的一种方法，可是我们函数知多少！也许你大约听过函数的定义（集合上的），可是你知道哲学里的函数吗？事情是这样的：我们说函数是描述运动现象的重要工具，可是运动有什么重要特征呢（有运动有什么）！ 物质与运动的辩证关系： 物质是运动的物质，运动是物质的运动。运动是物质的根本属性和存在方式，物质是运动的主体，物质和运动不可分割。离开物质谈运动，或者离开运动谈物质，都是错误的。　原来是这样的，有运动必有物质！（自然界的逻辑——运动基本特征）地球自转、小猫逮老鼠、移动的卫星……都有物质（地球、猫、老鼠、卫星……）。物理学上为了方便突出物质的存在，于是就把这些物质统一起来（不考虑形状、大小、性别、颜色、温度……）叫做质点；用质量来肯定物质的存在，道理也简单，一切物质皆有质量这样就可以表示物质的存在了（自然界的逻辑）。 可是要突出物质的存在，只有质量一条路吗？未必！ 物质与空间（绝对空间）的关系定理I一切物体总占据着空间且不受影响，并能进行空间交换（这也是自然界的逻辑）。　解释：事实上这里的空间指绝对空间，物体占据空间是无条件的，而物体本身又是不受空间影响的。因而物体可以从这个空间到达另一个空间，这便是空间交换。这里不是指机械运动，而是说明物体能够运动。 从定义1便可得出物质的几个自然原理。 物体在绝对空间的原理：1、对空间的占据性。2、不受空间影响性（独立性）。3、可（空间交换）运动性 谈到空间就离不开物质，人们认识空间是通过物质而得以实现的。无论何种物质都会以某种形态出现在空间里，物质是占据一定空间的存在（这种容纳物质的空间叫做物质空间！）。所以，要突出物质的存在物质空间也是一条道路！当然，也可以不考虑物质的形状、大小、性别、颜色、温度…… 我们说函数是描述运动现象的理论：是指不关心物质的速度、加速度……只考虑运动空间形态——轨迹（曲线或者直线），大约是说了物质在空间中位置变化方式（机械运动）。由于，函数遇到了运动，而运动又拉着物质、物质又必然引出空间。所以，大约得到了这样一种自然界的逻辑关系：运动是物质与空间的母体，物质空间是物质与纯粹空间的集合。　纯粹空间的存在表明空间的本质是空无（数学值相对实体物质定义为0），空间可独立于物质、意识之外而存在，空间既不是物质，也不是意识。这就是空间的真实性、客观性和非物质性。物质空间的存在以及与纯粹空间的转换，表明了空无的空间具有包容性。由于是相对定义，这样描述物质的数学值只能是非0的数了。这样一种自然界逻辑就有问题了——物质空间！物质空间物质部分>0，空间部分=0，于是搞笑的逻辑提问出现了：有没有一种数即等于0，又大于0来描述物质空间呢？在人的保守逻辑里，这种逻辑显然是不合理的（不存在这样的数），错误的逻辑！然而，自然界偏偏就是有这种逻辑，而且是普遍的逻辑并且一定会在运动现象中出现！ 微积分如何抓住自然现象本质 数学不是单纯的数字游戏！是有应用价值的，体现在各类数学模型上。数学如果本身，允许这样的解存在，那么就应该肯定其合理性（尊重自然界的抉择）。 Δy/Δx=[(x0+△x)^2-x0^2]/△x =[x0^2+2x0△x+△x^2-x0^2]/△x =(2x0△x+△x^2)/△x =(2x0+△x)*(△x/△x) =2x0+△x 现在我们取极限（最终形态），令△x=0：此时有limΔy/Δx=2x0 在令括号内△x=0（纯粹空间的性质）时，坚持括号外△x/△x=1（物质的性质）虽然，△x/△x=1的存在则否定了△x=0的假设，但这是基于运动基本特征的必然结果！ 而另一方面，Δy/Δx=[(x0+△x)^2-x0^2]/△x =(2x0+△x)*(△x/△x) 的式子中令△x=0有Δy/Δx=(2x0+△x)*(△x/△x) =（2x0+0)*(0/0) =0/0（纯粹空间的解） 也可以有，limΔy/Δx=0/0. 同一个表达式，居然有两个数学解！似乎数学想告诉我们什么，数也许可以是双向的，就好像物理学中的：光一样，具有波粒二象性。 微积分领域，我们遇到了许多所谓的驳论。微积分如果真是错误的推导，又何以得出正确的结论呢？Δx/Δx=1，应该理解为物质的比，而Δx=0，则应理解为纯粹空间的特性。最后，得到的则是一个物质空间的解。也就是limΔy/Δx=2x0，而limΔy/Δx=0/0则是纯粹空间的解。（（二元微积分学也适用） 所以，0/0≠2x0（二者的逻辑形式不同），但二者可以同时存在，或者独立存在！无穷小量其实是自然界的辩证法，它不是一种特殊的数或者说不是数。贝克莱驳论在人的逻辑学里是一条驳论，而在自然女神眼里则谈不上什么驳论了。 为什么导数（物质空间的解）是一条直线的斜率，而不是别的东西？因为，物质运动轨迹是物质在空间中的运动，不因为做曲线或是直线轨迹物质而变化（在任意的位置上，可以选择直线运动也可以选择曲线运动），割线越来越短（终点返回起点），物质性来源于割线自然最后的物质也必然是直线！（微观的线段更合理些吧。） 不过函数是人类头脑里的运动模型，并非自然界的实在运动，所以不是所有函数都有物质空间的解！函数与物质空间是既不成分也不必要条件，切忌！切忌！ 物理学认为：速度是描述物质运动快慢的物理量。我们所关心的是描述能有多高的精度，离自然界真相有多近！微积分中的△t是两个不同的值，一个为0（静止的空间），一个非0（运动的物质），于是极限的最后是一个运动物质空间的解（精度最高的解），当然0/0也是一个解（纯粹空间的解，不用它）；瞬时速度翻译过来是说：在任意某个纯粹空间（画龙点睛）里正在运动的物质——这是自然界普遍的现象。以后，还要谈定积分学.

第三代微积分和前两代微积分，在具体计算方法上也没有不同。不同的仍是对原理的说明。

几十年来，国内外都有人从事第三代微积分的研究以至教学实践。这方面的努力，已经有了显著的成效。在我国，林群院士是这个方向的倡导者，他在近十年间在此方向做了大量的工作。

微积分最基本最重要的概念是导数。第一代微积分说不清楚，主要就是导数的概念说不清楚。第二代微积分听不明白，主要是从导数的概念推导函数的性质听不明白。学过高等数学的同学都会用“导数正则函数增”的定理解题，但很少有人知道其中的道理。还有泰勒公式，微积分基本定理，多数人知其然不知其所以然。

所以，人们改革微积分，首先从导数概念入手。

在上世纪40年代，有人提出了区间上一致可导的概念。

定义1(一致可导的定义) 设函数F(x)和f(x)都在区间[a,b]上有定义，如果对于[a,b]上任意的x和x+h，一致的有

(1)

则称F(x)在区间[a,b]上一致可导，并称f(x)是F(x)的导函数, 简称为F(x)的导数，记作 F'(x)=f(x),或y'=f(x),或dy/dx=f(x)。

可以证明，一致可导等价于连续可导，即F(x)的导数存在并且在[a,b]上连续。但直接采用定义1，给推理带来了方便。

一致可导的定义，仍然依赖于极限概念。能不能不用极限来定义导数呢？林群指出[2]，采用“一致微商”的定义可以大大简化微积分基本定理的论证。在2005年11月在上海的一次全国性教学研讨会上，他进一步阐述了微积分改革的思想；在2006年5月12-14日在西安举行的“中国高等教育学会教育数学专业委员会学术研讨会”上，他又作了题为“新版微积分”的大会报告，在报告中明确提出了作为函数导数初等定义的“一致性不等式”，为微积分的初等化指出了一条新路，其详细的推导论证见[3]。 林群用一致不等式定义导数的方法，畧加形式化后就是

定义2 (用一致不等式定义导数)设函数F在[a,b]上有定义。如果有一个在[a,b]上有定义的函数f和正数M, 和一个在（0,b-a]上正值递减无界的函数D(x)，使得对[a,b]上任意的 x 和 x+h ,有下列不等式：

（2）

则称F在[a,b]上一致可导，并且称f(x)是F(x)的导数, 记作F’(x)= f(x).

将(2)用传统的记号表示，无非就是

（2*）

此处a(h)是h→0时的无穷小。而用不等式(2)可以避免无穷小。

可以证明，定义2和定义1是等价的。但是采用定义2就避免了极限概念，可以显著地简化推理，提前让学生掌握微积分的核心知识。

在定义2中取D(x)=1/x，得到所谓强可导或李普西兹可导的定义。

定义3 (强可导的定义) [3][4][5]设函数y=F(x)在I上有定义.如果存在一个定义在I上的函数f(x)和正数M,使得对 I上的任意点x和x+h,(这里h可正可负) 成立不等式

(3)

则称函数y=F(x)在I上强可导(或李普西兹可导),并称f(x)是F(x)的导数，记做F'(x)=f(x),或y'=f(x),或dy/dx=f(x)。

容易证明，强可导函数的导数差商有界，即满足李普西兹条件。这是国外有人把它叫做李普西兹可导的由来。

研究表明，在引进实数理论和极限理论之前，就能够严谨地推出一系列微积分的基本定理和计算公式。第3代的微积分理论框架，已经基本形成。

在中高等数学课程中，要求学生会用微积分方法解决一些实际问题。这些应用的理论依据主要是两条，一条是导数正则函数增，一条是微积分基本定理。这两条在现在的高中教材中都是不能证明的，甚至在大学里非数学专业的高等数学教材中也是不要求完整证明的。对如此重要的定理学生只能知其然而不知其所以然，这是高等数学教学中长期未能解决的难题。

当然,极限毕竟是要学的.学了些微积分的基础知识再学极限,也许更容易理解.因为例子更丰富,更现成了.

微积分入门教学难是被广泛关注的问题.或许第三代微积分的出现有助于解决这个难题。

有关强可导的评论

西方哲学家继承了古希腊哲学理性思维的传统，注重理性思辩和热衷于构建形而上学的理论体系，这种思维方式和习惯与高等数学的思维习惯是相似的。并且西方哲学理论和哲学观点多是建立在严密的逻辑推理和论证的基础之上的，即使是上帝的存在问题他们也要向对待数学问题那样试图用严密的辩证法和逻辑来给予证明。西方哲学家的这种注重推理论证和寻求因果联系的理性主义的思维习惯一旦与面向感性世界的经验主义和实验科学相结合将极大地促进自然科学的发展。

在对于微积分的研究上，西方数学家把眼光放在最细微的地方，虽然他们没有强调这一点，然微积分确实征服了“点”、“线”、“面”。这是一种“征服文化，”所以牛顿、莱布尼兹、柯西在这种文化的熏陶下，长时间内是不会也不可能去考虑：强可导函数的。

中国传统哲学自孔子以来就培养了一种深厚的“实用理性精神”，总是同做人即人格修养联系在一起，因此有关人性论和修养论的内容最为丰富。哲学家提出任何一种学说都要说明它对做人的意义，都要满足为政治实践和道德实践服务的现实需要，这种纯功利主义的思维方式和习惯与西方哲学本身所固有的为学术而学术的思维方式和习惯是大相径庭的，与要求严密推理和论证的数学思维方式也是格格不入的。这种思维方式和习惯不利于或者说阻碍了近代自然科学在中国的兴起和发展。

强可导函数，整体上暗中回归了自然界，这种方法维护人的意识（常量数学）比极限论要强烈的多。逻辑思维上较简单没有了驳论和矛盾，有利于学生偷懒。西方的微积分方法，侧重于了数学与自然界最终的和谐与统一；中国的初等化微积分侧重于数学与人的和谐统一。西方为了研究自然界，牺牲初等数学（意识）了为代价，体现了对自然界的热爱和尊重。中国的初等化微积分，体现了以人为本的理念。

学习西方哲学，改造中国传统哲学的思维方式和习惯，养成一种与数学思维方式相似的注重严密推理和论证的思维方式和习惯，对于促进我国科学技术的发展是大有裨益的！所以我觉得即便学了初等的微积分，还是有必要重新学极限论的微积分。这不是麻烦，而是思维的转型。中学一次，大学再学一次！就怕我们的学生，觉得强可导简单，对西方微积分有抵触情绪，不愿意接受。最好是中西结合，最终的道路都是殊途同归，不可厚此薄彼。

强可导定义下导数的唯一性证明

对于②式，F(x+h)-F(x)=f(x)+M(x,h)·h^(1+α) ,对α=1时进行证明。

用反证法，设g(x),t(x)都满足定义中的条件，由②式得：

F(x+h)-F(x)=g(x)h+M(x,h)h^2

F(x+h)-F(x)=t(x)h+N(x,h)h^2

两式相减得：

0=[g(x)-t(x)]h+[M(x,h)-N(x,h)]h^2

若有u使g(u)-t(u)=d≠0,由于M(x,h)和N(x,h)有界，可知有正数M使得

|dh|=|[g(u)-t(u)]h|≤Mh^2

即|d|≤M|h|，当h<|d/M|时推出矛盾。证闭。

一些常用结论

常数的导数为0：C‘=0

一次函数的导数为常数:(ax+b)'=a

n次函数的导数:(x^n)'=n·x^(n-1)

两函数之和、差的导数等于两导数之和、差：(F(x)±G(x))'=F'(x)±G'(x)

函数常数倍的导数等于导数的常数倍：(C·F(x))'=C·F'(x)

两函数乘积的导数：(F(x)·G(x))'=F'(x)·G(x)+F(x)·G'(x)

两函数之商的导数：(F(x)/G(x))'=(F'(x)·G(x)-F(x)·G'(x))/( v^2)