定义

奇函数简介

偶函数与奇函数满足下列基本性质

定义

设函数y=f（x）的定义域为D，D为关于原点对称的数集，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且-f(x)=f(-x)，则这个函数叫做奇函数。

奇函数简介

1、在奇函数f（x）中，f（x）和f（-x）的符号相反且绝对值相等，即f(-x)=-f(x)，反之，满足f(-x)=-f(x)的函数y=f（x）一定是奇函数。例如:f(x)=x^(2n-1),n∈Z;(f(x)等于x的2n-1次方,n属于整数)

2、奇函数图象关于原点（0，0）中心对称。

3、奇函数的定义域必须关于原点（0，0）中心对称，否则不能成为奇函数。

4、若F(X)为奇函数，X属于R，则F(0)=0.

图1为 奇函数

相关函数：偶函数，非奇非偶函数

5、设f(x)在I上可导，若f(x)在I上为奇函数，则f'(x)在I上为偶函数。

即f(x)=-f(-x)对其求导f'(x)=[-f(-x)]'(-x)'=-f'(-x)(-1)=f'(-x)

偶函数与奇函数满足下列基本性质

一：奇偶函数运算

(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

(7).奇函数不一定f(0)=0，也不一定有f(0)=0推出奇函数

（8）定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；

——因为定义在R上，所以在x=0点存在f(0)，要想关于原点对称，在原点又只能取一个y值，只能是f(0)=0。

（这是一条可以直接拿来用的结论：当x可以取0，f（x）又是奇函数时，f（0）=0）。

（9）当且仅当f（x）=0（定义域关于原点对称）时，f（x）既是奇函数又是偶函数。

(10)在对称区间上，被积函数为奇函数的定积分为零。

二：奇偶函数图像

(1)奇函数的图象关于原点成中心对称。

(2)偶函数的图象关于Y轴成轴对称。

(3)奇偶函数的定义域一定关于原点对称！

(4)奇函数的偶数项系数等于0，偶函数的奇数项系数等于0。

(5)Y=0即是X轴，既是奇函数也是偶函数~！

三：奇偶函数运算

　奇函数中F（X）=-F（-X），当x=0有定义时，F（0）=0，常见的奇函数有F（X）=sinX.偶函数关于Y轴对称，F（x）=F（-X），如F（X）=cosX

四：奇偶函数的公式

对于函数y=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)，当a=0,b=0,c=0时f(x)是又奇又偶函数，当b∈R,a=0,c=0时，f(x)是奇函数；当a∈R,b=0,c∈R时，f(x)是偶函数