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词条 婆罗摩笈多定理
释义

定理:若圆内接四边形的对角线相互垂直,则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边

证明1:(以下为向量式)

设BF=xAF 则EF=(EB+xEA)/(1+x) (定比分点向量公式)

又EF*BC=EF*(DE+EC)=0

所以(EB+xEA)(DE+EC)=0

拆开 EB*DE+EB*EC+xEA*DE+xEA*EC=0

由垂直 所以只有 EB*DE+xEA*EC=0

由相交线定理 所以x=1(EA*EC=EB*ED)(这是代数式,上式为向量式,故成立)

证明2:

若圆内接四边形的对角线相互垂直,交点与一对边的中点连线垂直于另一边

证明:(向量式)

EF=1/2(EA+EB)

DC=DE+EC

EF*DC=0(去掉垂直的)

此定理在39届IMO证明题,还有78年银川数学竞赛试题

关于此题的看法

1.此定理是很冷门的(被考即是因为冷门),最好题前引例证明

2.向量法证明是很方便的方法,特别是另一版本的证明,自己想出来的,比我看的任何证明过程都简单很多

3.想要抓住联赛的几何题,类似的冷门定理要多掌握

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更新时间:2024/12/23 22:26:40