定义

性质

判定

例题

定义

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

性质

平行四边形的性质：

（1）：平行四边形对边相等；

（2）：平行四边形对角相等；

（3）：平行四边形对边平行；

（4）：平行四边形对角线互相平分；

（5）：平行四边形邻角互补。

判定

平行四边形的判定方法

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；

4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

例题

已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．

（1）若AO⊥BD，试求四边形ABCD的面积；

（2）若AC与BD的夹角∠AOD= ，求四边形ABCD的面积；

（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=

AC= ，BD= ，试求四边形ABCD的面积（用含

q，a，b的代数式表示）．

解：（1）∵AC⊥BD

∴四边形ABCD的面积S=1/2AB×BC

=1/2×10×8

=40………………………………………2分

（2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E …………………………………3分

∵四边形AB CD为平行四边形AO=CO=1/2AC=5，

BO=DO=1/2BD=4

在Rt⊿AOE中， sin∠AOE=AB/AO

∴ AE=AO×sin ∠AOE=AO×sin60°=5×√3/2=5√3/2…………4分

∴S△AOD=1/2OD×AE=1/2×4×√3/2×5=5√3………………………………5分

∴四边形ABCD的面积S=4S△AOD=20√3……………………………………6分

(3）如图所示过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F …………7分在Rt⊿AOE中，sin∠AOE=AE/AO

∴ AE=AO×sin∠AOE=AO×sinq

同理可得 CF=CO×sin∠COF=CO×sinq………………………………8分

∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=1/2BD×AE+1/2BD×CF

=1/2BD×sinq（AO+CO）

=1/2BD×ACsinq

=1/2absinq…………………………………10

〔3〕如图所示，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．

分析：　由四边形ABCD是平行四边形，可得，CE∥AF，∠DAB=∠DCB，又AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，所以∠2=∠3，可证四边形AFCE是平行四边形．

解答：

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，

∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，∴∠2=∠3，

又∠3=∠CFB，

∴∠2=∠CFB，

∴AE∥CF，

又CE∥AF，

∴四边形AFCE是平行四边形．