既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。

向量的概念

向量的几何表示

平面向量的坐标表示

向量的运算(加法运算 减法运算 数乘运算 坐标运算 向量的数量积 向量的向量积 向量的混合积)

平面向量的基本定理

相关练习

特殊规律

向量的概念

既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量叫做向量（物理学中叫做矢量），向量可以用小写黑体字母a，b，c，.......表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。在自然界中，有许多量既有大小又有方向，如力、速度等。我们为了研究这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。这样，研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量，就会方便许多。

向量的几何表示

具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）

有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。

有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。

相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，

向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，

在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）

长度等于0的向量叫做零向量，记作0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的）

零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行，但不垂直。

模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

平面向量的坐标表示

在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

a=xi+yj

我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作

a=（x，y），

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。

在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。即，若一向量的起点在原点，那么该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的。

向量的运算

加法运算

向量加法的定义

已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=AB+BC=AC。

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点) 同样，作AB=a,且AD=BC,再作平行AD的BC=b，连接DC，因为AD∥BC，且AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，AC叫做a与b的和，表示为：AC=a+b.这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。（共起点，对角连）。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减向量）

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）a+(－a)=(－a)+a=0（2）a－b=a+(－b)。

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa= 0。

设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a= λ(μa)（2）(λ + μ)a= λa+ μa（3）λ(a± b) = λa± λb（4）(－λ)a=－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

坐标运算

已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则

a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）

=(x1+x2)i+(y1+y2)j

即 a+b=（x1+x2，y1+y2）。

同理可得 a-b=（x1-x2，y1-y2）。

这就是说， 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

由此可以得到：

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

根据上面的结论又可得

若a=(x,y),则λa=(λx,λy)

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

向量的数量积

（1）向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，则角AOB=θ叫做向量a与b的夹角。

（2）数量积的定义：已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a·b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

（3）数量积几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2

（4）向量的数量积的性质：

a·a=∣a∣^2≥0

a·b=b·a

k(ab)=(ka)b=a(kb)

a·(b+c)=a·b+a·c

a·b=0<=>a⊥b

a=kb<=>a//b

e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ

向量的向量积

（1）向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉。

（2）已知两个非零向量a、b，那么a×b叫做a与b的向量积或外积。若a、b不共线，a×b是一个向量，其模是∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向为垂直于a和b，且a、b和a×b按次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

（3）向量积几何意义： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

（4）向量积性质：

a×a=0

a‖b〈=〉a×b=0

a×b=-b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

（a+b）×c=a×c+b×c

向量的混合积

定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合积具有下列性质：

1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）

2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

3、(abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)

平面向量的基本定理

如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、μ，使a= λ*e1+ μ*e2。

相关练习

1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0.

2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 错（当a⊥b时，a · b=0）

3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 错（当a和b都不为零，且a⊥b时，a · b=0）

4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0. 错（可以都不为0，当a⊥b时，a · b=0成立）

5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c 错（当b=0时）

6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立． 错（a≠0且同时垂直于b，c时也成立）

7．对任意向量 a 有a· a=∣a∣ ∣a∣

特殊规律

1.三角形ABC内一点O，向量OA·向量OB=向量OB·向量OC=向量OC·向量OA，则点O是三角形的垂心。

2.若O是三角形ABC的外心,点M满足向量OA+向量OB+向量OC=向量OM，则M是三角形ABC的垂心。

3若O和三角形ABC共面，且满足向量OA+向量OB+向量OC=零向量，则O是三角形ABC的重心。