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词条 皮亚诺公理
释义

定义

皮亚诺公理,也称皮亚诺公设,是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下:

①1是自然数;

②每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a' 也是自然数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,1的后继数是2,2的后继数是3等等);

③如果b、c都是自然数a的后继数,那么b=c;

④1不是任何自然数的后继数;

⑤任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n' 也真,那么,命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设,保证了数学归纳法的正确性)

注:归纳公设可以用来证明1是唯一不是后继数的自然数,因为令命题为“n=1或n为其它数的后继数”,那么满足归纳公设的条件。

若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0。

更正式的定义

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f):

1、X是一集合,x为X中一元素,f是X到自身的映射;

2、x不在f的值域内;

3、f为一单射。

4、若A为X的子集并满足x属于A,且若a属于A, 则f(a)亦属于A则A=X。

该结构与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设是一致的:

1、P(自然数集)不是空集;

2、P到P内存在a->a直接后继元素的一一映射;

3、后继元素映射像的集合是P的真子集;

4、若P任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与P重合。

能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理!

例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据。

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更新时间:2025/1/11 9:36:52