简介

形式陈述

解释

一般化

其他等价公理

简介

在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中，配对公理是Zermelo-Fraenkel集合论的公理之一。

形式陈述

在Zermelo-Frankel公理的形式语言中，这个公理读作：

给定任何集合x和任何集合y，有着一个集合A使得，给定任何集合z，z是A的成员，当且仅当z等于x或者z等于y。

解释

这个公理实际说的是，给定两个集合x和y，我们可以找到一个集合A，它的成员完全是x和y。我们可以使用外延公理证实这个集合A是唯一的。我们可以叫这个集合A为x和y的对（或无序对），并表示为{x,y}。所以这个公理的本质是：

任何两个集合都有一个对。

{x,x}简写为{x}，叫做包含x的单元素集合。注意单元素集合是对的特殊情况。

配对公理还允许定义有序对。对于任何集合a和b，有序对定义为如下：

<a,b>={{a},{a,b}}

注意这个定义满足条件

<a,b>=<c,d>当且仅当a=c且b=d。

有序的n-元组可以递归的定义为如下：

<a1,a2,...,an>=<a1,<a2,...,an>>，当n>2

配对公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价定理出现在任何可供选择的集合论的公理化中。不过在Zermelo-Fraenkel集合论的标准公理化中，配对公理可以从幂集公理和替换公理模式中得出，所以它有时被省略。

一般化

与空集公理一起，配对公理可以一般化为如下模式：

给定任何有限数目的集合x1到xn，有一个集合A，它的成员完全是x1到xn。根据外延公理这个集合A再次是唯一的，并表示为 {x1,...,xn}。

当然，在没有构造出一些集合所归属的（有限）集合时，我们不能严格地（在一条命题中同时）提及这些集合。所以，这不是一个单一的命题而是一个模式，对每个自然数n有一个单独的陈述。

n=1时，化为x=y=x1的配对公理。

n=2时，化为x=x1而y=x2的配对公理。

n>2时，可以多次使用配对公理和并集公理来证明。

例如，要证明n=3的情况，使用配对公理三次，来生成对{x1,x2}，单元素集合{x3}，接着生成对{{x1,x2},{x3}}。使用并集公理生成想要的结果{x1,x2,x3}。我们可以扩展这个模式使之包括n=0，如果我们解释这个情况为空集公理。

所以，你可以使用它为公理模式来替代空集公理和配对公理。但是人们通常单独使用空集公理和配对公理，并把它证明为定理模式。注意接受这个模式为公理模式不会替代并集公理，在其他情况下（无限集合的情况）仍需要它。

其他等价公理

另一个公理在空集公理成立的前提下蕴涵配对公理：

对任意集合x和（集合）y，存在集合A使z∈A当且仅当z∈x或z=y。

代{}入x并代a入y，我们得到A为{a}。接着代{a}入x 并代b入y，我们得到A为{a,b}。你可以用这种方式建造任何有限集合。它可以用来生成所有继承有限集合而不使用并集公理。