词条 | 配对公理 |
释义 | 简介在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中,配对公理是Zermelo-Fraenkel集合论的公理之一。 形式陈述在Zermelo-Frankel公理的形式语言中,这个公理读作: 给定任何集合x和任何集合y,有着一个集合A使得,给定任何集合z,z是A的成员,当且仅当z等于x或者z等于y。 解释这个公理实际说的是,给定两个集合x和y,我们可以找到一个集合A,它的成员完全是x和y。我们可以使用外延公理证实这个集合A是唯一的。我们可以叫这个集合A为x和y的对(或无序对),并表示为{x,y}。所以这个公理的本质是: 任何两个集合都有一个对。 {x,x}简写为{x},叫做包含x的单元素集合。注意单元素集合是对的特殊情况。 配对公理还允许定义有序对。对于任何集合a和b,有序对定义为如下: <a,b>={{a},{a,b}} 注意这个定义满足条件 <a,b>=<c,d>当且仅当a=c且b=d。 有序的n-元组可以递归的定义为如下: <a1,a2,...,an>=<a1,<a2,...,an>>,当n>2 配对公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价定理出现在任何可供选择的集合论的公理化中。不过在Zermelo-Fraenkel集合论的标准公理化中,配对公理可以从幂集公理和替换公理模式中得出,所以它有时被省略。 一般化与空集公理一起,配对公理可以一般化为如下模式: 给定任何有限数目的集合x1到xn,有一个集合A,它的成员完全是x1到xn。根据外延公理这个集合A再次是唯一的,并表示为 {x1,...,xn}。 当然,在没有构造出一些集合所归属的(有限)集合时,我们不能严格地(在一条命题中同时)提及这些集合。所以,这不是一个单一的命题而是一个模式,对每个自然数n有一个单独的陈述。 n=1时,化为x=y=x1的配对公理。 n=2时,化为x=x1而y=x2的配对公理。 n>2时,可以多次使用配对公理和并集公理来证明。 例如,要证明n=3的情况,使用配对公理三次,来生成对{x1,x2},单元素集合{x3},接着生成对{{x1,x2},{x3}}。使用并集公理生成想要的结果{x1,x2,x3}。我们可以扩展这个模式使之包括n=0,如果我们解释这个情况为空集公理。 所以,你可以使用它为公理模式来替代空集公理和配对公理。但是人们通常单独使用空集公理和配对公理,并把它证明为定理模式。注意接受这个模式为公理模式不会替代并集公理,在其他情况下(无限集合的情况)仍需要它。 其他等价公理另一个公理在空集公理成立的前提下蕴涵配对公理: 对任意集合x和(集合)y,存在集合A使z∈A当且仅当z∈x或z=y。 代{}入x并代a入y,我们得到A为{a}。接着代{a}入x 并代b入y,我们得到A为{a,b}。你可以用这种方式建造任何有限集合。它可以用来生成所有继承有限集合而不使用并集公理。 |
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