说明

应用

排序不等式的证明：

说明

排序不等式（sequence inequality,又称排序原理）是高中数学竞赛大纲、新课标 普通高中课程标准试验教科书（人民教育出版社）数学（选修4-5 第三讲第三节） 要求的基本不等式。

设有两组数 a1 , a2 ,…… an; b1 , b2 ,…… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an, b1 ≤ b2 ≤……≤ bn ，其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……，bn的任一排列，则有

a1* bn + a2 *b{n-1}+ ... + an *b1

≤ a1 *c1 + a2* c2} +……+ an *cn}

≤ a1 *b1 + a2 *b2 + ……+an* bn.

当且仅当 a1 = a2 = ... = an 或 b1 = b2 = ... = bn 时等号成立，即反序和等于顺序和。

应用

排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系。可以先令a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an，确定大小关系。

使用时常构造一组数，使其与原数构成乘积关系，以便求解。适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明。

以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.

排序不等式的证明：

逐步调整法。

当n=2时，不妨设a1 ≤ a2， b1 ≤ b2，那么

a1*b1 + a*2 b*2 - ( a2*b1 + a1*b2)

= ( a1 - a2 )( b1 - b2 )

≥0.

因此n=2时成立。

当n>2时，只需分别证明两个不等式即可。

不妨设a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an，b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn。

A. 乱序和≤同序和

考察 a1 b{t_1} + a2 b{t_2} + ... + an b{t_n}。

如果t1=1，那么考察t2。如果ti=i，i=1, ..., k，那么考察t{k+1}。

现不妨设第一个满足tk>k的项脚标为m，即a1 b1 + a2 b2 + ... + am b{tm} + ... + an b{tn}，tm>m。

并且找到含有b_m的项，设其为a_l b_m，l>m。

于是，由于a_m ≤ a_l，b_{t_m} ≥ b_m，所以a_m b_m + a_l b_{t_m} ≥ a_m b_{t_m} + a_l b_m.

因此，这两项排成同序和后变大。

调整后的式子变为

a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_m b_{t_m} + ... + a_n b_{t_n}

≤a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_m b_m + ... + a_n b_{t_n}

因为这样的项是有限的，所以经过有限步调整后就得到同序和，从而证明了乱序和≤同序和。

B. 反序和≤乱序和

与A的证明完全相似，每步进行缩小后经有限步即可证明。

等号取到的充要条件是：a1=a2=……=an or b1=b2=……bn