常见基本题型(有序排列 重复排列 圆排列)

原理及应用

有条件的排列，即对一个排列有条件限制。

慨述

一般地，有限制条件的排列解决，都需要一定的方法。如果方法得当，则问题可以得到简单的解决；如果解决问题的方法选取不当，那么处理起来会很麻烦，甚至无法得到解决。

为此，下面我们简单的介绍一些常见的有限制条件的排列问题的处理办法。

处理方法

首先，我们得弄清可能出现的问题种类，即一般有限制条件的问题的基本题型。通常有相邻问题、不相邻问题、有序问题等问题。

再则，我们得了解一般解决问题的方法，常用的有捆绑法、插空法、特殊元素优先处理法、整排异法等方法。

下面我们以例题形式具体讲解：

常见基本题型

有序排列

例1 某地开运动会，有十个队代表队，现这些队需要入场，其中甲队不在乙队后入场，求满足条件的排法数？　分析：此问题为典型的有序排列问题，一般来讲，解决这类问题可以用特殊元素优先处理法、分类讨论法、整体法等方法。

解 法一：特殊元素优先处理法

一，甲排在第一出场，则乙有9种排法（余下9个位置乙任选一个），剩下的全排，所以N1=9×8！；

二，甲排在第二出场，则乙有8种排法，余下的全排即可，所以N2=8×8！；

三，甲排在第三出场~~~~~~

~~~~~~~

九，甲排在倒数第二出场，则乙只有唯一的一种排法（乙必须排在甲后），余下全排，所以N9=1×8!

则总的排法数N=N1+N2+~~~+N9=(1+2+~~~+9)×8!;

法二：分类讨论法

可以先固定甲的位置也可先固定乙的位置，在排余下的元素，因后续工作与乙完全相同，所以在此从简。

法三：整体考虑法

第一步，先把十个元素全排，有10！种排法；

第二步，排除不符合条件的排法数，因为甲和乙的位置只可能是甲前乙后或乙前甲后，即不满足条件的占一半。

所以，总的排法数N=10！/2！

例2 某班有三十人，其中女生10人，男生20人，需要参加两项自愿者活动，老师准备派遣10人代表该班去参加。

（1）参加活动的要求不能全为男生，求满足条件的选派方法数？

（2）要求参加活动甲同学和乙同学不能同时参加，求满足条件的方法数？

（3）因需要女生参加活动的人数不能少于5人，且要求两项活动都有女生参加，求满足条件的方法数？

解 （1）分析：此问题可用分类讨论法（先分参加活动的女生人数，在确定男生的人数；或先确定参加活动男生的人数，在确定女生人数），整排异法。

法一：分类讨论法

一，有1名女生参加，则还需男生9人，此时有排法数N1=10×20！×（9！×11！）；

二，有2名女生参加，则还需男生8人，此时有排法数N2=〔10！/（8！×2！）〕×〔20！/(8！×12！)〕;

~~~~~~

十，参加的全为女生，则此时有排法数N10=1;

所以，总的排法数N=N1+N2+~~~+N10;

法二：整排异法

第一步，三十人中选10人，此时有排法数N1=30!/(10!×20!);

第二步，从一中排除不满足条件的排列数，即减去全为男生的排法数，此时N2=20!/(10!×10!)

所以，满足条件的方法数N=N1—N2;

(2) 分析：此问题可以用分类讨论法或整排异法

分类可作如下分类：一甲乙都没参加，即从28人中选10人即可；二甲参加乙没参加，即除去甲乙外再选9人；三乙参加而甲不参加，后面问题与二相同处理。则总的方法数为一二三种情况的和。

整排异法可作如下讨论：一不管甲乙的限制条件，即30人中选10人；二排除甲乙都参加的排法数；则总数为一的排法数减去二的。

（3）此问题可分两大步来处理：一，在满足条件下选人，二按条件分配人。在此不做讨论，留给读者去探讨。

重复排列

一、定义：一组元素不全不同，现将其排列，此种排列叫做重复排列。

二、 例3 有如下一组数1，1，1，2，2，2，3，3，现将其排成一列，求不同的排法有多少种？

解 分析：以上问题有相同元素，将其排列则属于重复排列范畴。现我们作如下解，并归纳出其一般情况下的计算公式。

第一步，把相同元素看作不同元素作全排，有N1=8!种排法；

第二步，确定相同排列：分析，令a=1,b=1,c=1.abc,acb,bca,bac,cba,cab，因为abc都代表1，即前面的排列应视为相同排列，据此我们的到满足条件的排列数为N=N1/(3!×3!×21);

一般地，一组元素有a1个x1，a2个x2，a3个x3~~~~an个Xn，则此重复排列的排列种数为N=(a1+a2+a3+~~~+an)!/〔(a1)!(a2)!(a3)!(an)!〕

圆排列

一、定义：有一组元素，将其排成一个圆，这种排列叫做圆排列或项链排列。

二、 例4 有五个小朋友，手拉手排成一个圆做游戏，求不同的排法数？

解 分析：此问题的元素有五个，其排列方式为排成一个圆，及圆排列。

我们作例3的类似讨论求解，第一步，将其全排，有5！种排法；

第二步，从一中排除相同的排列，分析如下：设五个小朋友中有甲乙二人，因为无论甲乙谁排在首位作圆排，其都为一种排法。则满足条件的方法数为N=（5—1）！

一般地，有m个元素作圆排列，其计算公式为（m—1）！

原理及应用

两个基本计数原理及应用

(1)加法原理和分类计数法

1．加法原理

2．加法原理的集合形式

3．分类的要求

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)

(2)乘法原理和分步计数法

1．乘法原理

2．合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同

如果你还有点疑惑！我就讲点例题（很经典的）

[例题分析]排列组合思维方法选讲

1．首先明确任务的意义

例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，

又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为C(2,1)* C(10,2)* C(2,1)=2*45*2=180。

例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?

分析：对实际背景的分析可以逐层深入

（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。

（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。

（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。

从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，

∴ 本题答案为：C（8,3）=56。

2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合

例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。

分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。

第一类：A在第一垄，B有3种选择；

第二类：A在第二垄，B有2种选择；

第三类：A在第三垄，B有1种选择，

同理A、B位置互换 ，共12种。

例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。

(A)240 (B)180 (C)120 (D)60

分析：显然本题应分步解决。

（一）从6双中选出一双同色的手套，有种6方法；

（二）从剩下的十只手套中任选一只，有种10方法。

（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种8种方法；

（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。

例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。

分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有

C(6.2)*C(4.2)*C(2.2)=15*6*1=90种。

例6．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?

分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。

以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。

第一类：这两个人都去当钳工，有10种；

第二类：这两人一个去当钳工，另一个什么都不当，有20种；

第三类：这两人一个当钳工，一个当车工，有80种；

第四类：这两人都当车工，有30种；

第五类：这两人一个当车工，另一个什么都不当，有40种；

第六类：这两人什么都不当，有5种。

因而共有185种。

例7．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?

分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。

抽出的三数含0，含9，有种16方法；

抽出的三数含0不含9，有种24方法；

抽出的三数含9不含0，有种36方法；

抽出的三数不含9也不含0，有种24方法。

又因为数字9可以当6用，因此共有2*(16+36)+24+24=152种方法。

例8．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。

分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有9种停车方法。

3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑

例9．六人站成一排，求

(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数

(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数

分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

第一类：乙在排头，有P(5,5)=120种站法。

第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有C(4,1)*C(4,1)*P(4,4)=384种站法，

共504种站法。

（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种24方法。

第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种72方法。

第三类：乙在排头，甲不在排头，有种72方法。

第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有144种方法。

共72+72+24+144=312种。

例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?

分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。

第一步：第五次测试的有C(4.1)种可能；

第二步：前四次有一件正品有C(6.1)种可能。

第三步：前四次有P(4.4)种可能。

∴C(4.1)*C(6.1)*P(4.4)=24*24=576（种）

以下内容为很渴望的朋友准备，别闲烦啊！

捆绑与插空

例11. 8人排成一队

(1)甲乙必须相邻 (2)甲乙不相邻

(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻

(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻

分析：（1）有种P(7.7)*2方法。

（2）有P(8.8)-P(7.7)*2种方法。

（3）有P(7.7)*2-P(6.6)*2*2种方法。

（4）有P(6.6)*2*2种方法。

（5）本题不能用插空法，不能连续进行插空。

有P(8.8)-P(7.7)*2*2+P(6.6)*2*2种方法。

例12. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?

分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即P(5.2)。

例13. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?

分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。

∴ 共C(6.3)=20种方法。

4．间接计数法.(1)排除法

例14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?

分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。

所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，

∴ 共C(9.3)-8种。

例15．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?

分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，

∴ 共C(8.4)-12=70-12=58个。

例16. l，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?

分析：由于底数不能为1。

（1）当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。

（2）当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共，其中log24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94.

因而一共有53个。

(3)补上一个阶段，转化为熟悉的问题

例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?

分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有=360种。

（二）先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了种， ∴ 共=120种。

例18．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?

分析：首先不考虑男生的站位要求，共种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有=9×8×7×6=3024种。

若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。

例19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?

分析：先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共有变化，因而共=20种。

5．挡板的使用

例20．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?

分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。

6．注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。

例21. 从0，l，2，……，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数?

分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0的选取。

（一）两个选出的偶数含0，则有种。

（二）两个选出的偶数字不含0，则有种。

例22. 电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法?

分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四组，有种。

（二）选择10层中的四层下楼有种。

∴ 共有种。

例23. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，

(1)可组成多少个不同的四位数?

(2)可组成多少个不同的四位偶数?

(3)可组成多少个能被3整除的四位数?

(4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?

分析：（1）有300种。

（2）分为两类：0在末位，则有60种：0不在末位，则有96种。

∴ 共156种。

（3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选

0，1，2，3

0，1，3，5

0，2，3，4

0，3，4，5

1，2，4，5

它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有96种。

（4）首位为1的有=60个。

前两位为20的有=12个。

前两位为21的有=12个。

因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。

7．分组问题

例24. 6本不同的书

(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?

(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？

(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？

(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?

(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?

分析：（1）有90种。

（2）即在（1）的基础上除去顺序，有15种。

（3）有60种。由于这是不平均分组，因而不包含顺序。

（4）有60种。同（3），原因是甲，乙，丙持有量确定。

（5）有360种。

例25. 6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为_______。

分析：（一）考虑先把6人分成2人和4人，3人和3人各两组。

第一类：平均分成3人一组，有20种方法。

第二类：分成2人，4人各一组，有15种方法。

（二）再考虑分别上两辆不同的车。

综合（一）（二），有70种。

例26. 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有________种.

分析：（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。

其中涉及到平均分成四组，有=种分组方法。

（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有种，

由（一）（二）可知，共=240种。

有点小多，但希望大家能长补短！

依自己的情况而选做研究