词条 | 尼考曼彻斯法 |
释义 | 尼考曼彻斯法的特色是做一系列减法,辗转相减,从而求得最大公约数。例如 :两个自然数35和14,用大数减去小数,(35,14)->(21,14)->(7,14),此时,7小于14,要做一次交换,把14作为被减数,即(14,7)->(7,7),再做一次相减,结果为0,这样也就求出了最大公约数7。 证明: 设 a=bq1+r1(0<r1<b) b=r1q2+r2(0<r2<r1) r1=r2q3+r3(0<r3<r2) …… 只要r1,r2,r3……不是0就可以继续写下去 我们看到: b>r1>r2>r3>……>0 b是有限的r1,r2,r3是整数 所以至多b步后,必有rn=0 rn-2=rn-1qn + rn rn-1 = rn*qn+1+0 由此可以得到(a,b)=rn |
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