莫比乌斯反演的引入

莫比乌斯反演μ(d)定义

莫比乌斯反演的性质

莫比乌斯反演的引入

莫比乌斯反演是数论中的重要内容，在许多情况下能够简化运算。我们考虑以下求和函数：F(n)=∑(d|n)f(d).

我们需要找到f(n)与F(n)之间的关系。从和函数定义当中，我们可以知道：

F(1)=f(1)

F(2)=f(1)+f(2)

F(3)=f(1)+ f(3)

F(4)=f(1)+f(2)+f(4)

F(5)=f(1)+f(5)

F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)

F(7)=f(1)+f(7)

F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)

那么：

f(1)=F(1)

f(2)=F(2)-f(1)=F(2)-F(1)

f(3) =F(3)-F(1)

f(4)=F(4) -f(2)- F(1) =F(4)-F(2)

f(5) =F(5)-F(1)

f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)

f(7)=F(7)-F(1)

f(8)=F(8)-F(4)

从中，可以看出，若n=p^2(p为质数)那么，F(p)=f(1)+f(p)，F(n)=f(1)+f(p)+f(p^2)，所以，f(n)=F(p^2)-F(p).

如果我们要让函数满足：

那么通过以上推导，我们可以知道μ(p^2)=0.所以我们作出以下猜测：

莫比乌斯反演μ(d)定义

若d=1 那么μ(d)=1

若d=p1p2…pr （r个不同质数，且次数都唯一）μ(d)=(-1)^r

其余 μ(d)=0

莫比乌斯反演的性质

性质一：（莫比乌斯反演公式）

性质二：μ(n)是乘性函数

性质三：设f是算术函数，它的和函数F(n)=∑(d|n)f(d)是和函数，那么f也是和函数。