公元1858年，德国数学家莫比乌斯(Mobius，1790～1868)发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。因为，普通纸带具有两个面(即双侧曲面)，一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面)，一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“莫比乌斯带”。明尼苏达大学的研究人员道格拉斯·阿诺德和乔纳珊·罗格尼斯制作的录像对“莫比乌斯变换”这一深奥而有趣的现象进行了深入浅出的描述。

在几何学里, 一个莫比乌斯变换被定义为方程f(z) = {a z + b}/{c z + d};

其中 z, a, b, c, d 为 复数 且满足 ad − bc ≠ 0.

一次莫比乌斯变换也可以被分解为以下步骤:

把平面射影到球体, 把球体进行旋转,位移等任何变换, 然后把它射影回平面上.

莫比乌斯变换是以数学家奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯命名的, 它也被叫做homographic transformations 或 fractional linear transformations.