介绍

魔方矩阵的历史

平面魔方的构造((1) N 为奇数时 (2)N为4的倍数时 (3)N 为其它偶数时)

魔方矩阵算法设计：

matlab中的魔方函数

介绍

在《射雕》中郭黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。

4 9 2

3 5 7

8 1 6

这就是一个最简单的3阶平面魔方。因为魔方的智力性和趣味性，很多游戏和玩具都与魔方有关，如捉放曹、我们平时玩的六面体，也成为学习编程时的常见问题。

魔方矩阵的历史

魔方又称幻方、纵横图、九宫图，最早记录于我国古代的洛书。据说夏禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为"洛书"或"河图"，又叫河洛图。

南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调；最后再把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。 (摘自《趣味数学辞典》)

在西方，阿尔布雷特·丢勒于1514年创作的木雕《忧郁》是最早关于魔方矩阵的记载。有学者认为，魔方矩阵和风靡一时的炼金术有关。几个世纪以来，魔方矩阵吸引了无数的学者和数学爱好者。本杰明·富兰克林就做过有关魔方矩阵的实验。

最简单的魔方就是平面魔方，还有立体魔方、高次魔方等。对于立体魔方、高次魔方目前世界上很多数学家仍在研究，本文只讨论平面魔方。

平面魔方的构造

平面魔方的一般定义：将自然数 1 到 N2 排列 N 行 N 列的方阵，使每行、每列及两条主对角线上的 N 个数的和都等于 N(N2+1)/2，这样的方阵称为 N 阶幻方。

通过搜索整理后，得到下面的算法：

对平面魔方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式)

(1) N 为奇数时

(1) 将1放在第一行中间一列;

(2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：

按 45°方向行走，如向右上

每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数减1

(3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。

例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样减1;

(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，

则把下一个数放在上一个数的下面。

(2)N为4的倍数时

采用对称元素交换法。

首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵

然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上的数关于大方阵中心作中心对称交换（注意是各各子矩阵对角线上面的数）， 即a(i,j)与a(n+1-i,n+1-j)交换，所有其它位置上的数不变。(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可)

(3)N 为其它偶数时

当n为非4倍数的偶数(即4n+2形)时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。

按上述奇数阶魔方给分解的4个子方阵对应赋值

上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i+v)，下左子阵最大(i+3v)，上右子阵次大(i+2v)

即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4

四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③

④ ②

然后作相应的元素交换：a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做对应交换(j<t-1或j>n-t+1),

注意其中j可以去零。

a(t-1,0)与a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换

其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。

魔方矩阵算法设计：

先在矩阵第一行中间的位置上放1，然后把数字按照升序沿着左上角放置到矩阵中。如果越界了，就假设周围还有一个矩阵，将数字放到那个位置上；如果那个位置已经被占据了，就跳过该位置放到下面的位置，然后重新按照原来的方法放。如图：在5×5的魔术矩阵中，放完1以后，就把2放到1的左上角，但是此时已经越界了。假设，在原来的矩阵上面还有一个矩阵，则数字2所放的位置应该是在最后一行的第二个位置，接下去就要把数字3放到2的左上角，依次放下去，当放到6的时候，由于1已经将下一个位置占了，所以就放到5下面的位置。依照这样的规律直到把数字都放完。

matlab中的魔方函数

Matlab中自动生成魔方矩阵的函数:

magic(n) n是矩阵维数,例如在MATLAB命令窗口输入

magic(5) ，将随机产生5阶魔方阵。