一般地，形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

概念

特性

定义域与值域

第一象限的特殊性

图象

特别说明

概念

形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

特性

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

a小于0时，x不等于0；

a的分母为偶数时，x不小于0；

a的分母为奇数时，x取R。

定义域与值域

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

1.如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数， 则x不能小于0，这时函数的定义域为大于等于0的所有实数；2.如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：

1.在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

2. 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，

因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

第一象限的特殊性

可以看到：

（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a>0时 图象过点（0，0）和（1，1）

（2）当a大于0时，幂函数为单调递增为增函数,但y=x^2,在（-∞，0）上单调递减。

而a小于0时，幂函数为单调递减为减函数。

（3）当a大于1时，幂函数图形下凸（竖抛）；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸（横抛）。当a小于0时，图像为双曲线。

（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

（5）显然幂函数无界限。

（6）a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}。

图象

幂函数的图象：

①当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数

②当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数，第一象限为减函数

③当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1)

④当0<a<1时，函数是增函数

⑤当a≥1且a为奇数时，函数是奇函数

⑥当a≥1且a为偶数时，函数是偶函数

幂函数的图像不过第四象限

特别说明

为了研究方便，在初等函数里对于幂函数，只讨论a=1,2,3,1/2,-1时的情形。