SPFA算法

伪代码(SPFA实际上是Bellman-Ford基础上的优化 一种更容易读懂的伪代码 期望的时间复杂度O(2e))

SPFA算法

求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。

SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的.

从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。

很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。

简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

定理: 只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。

证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）

期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点，在建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空

判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

伪代码

SPFA实际上是Bellman-Ford基础上的优化

SPFA(G,w,s)

1. INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)

2. INITIALIZE-QUEUE(Q)

3. ENQUEUE(Q,s)

4. While Not EMPTY(Q)

5. Do u<-DLQUEUE(Q)

6. For 每条边(u,v) in E[G]

7. Do tmp<-d[v]

8. Relax(u,v,w)

9. If (d[v] < tmp) and (v不在Q中)

10. ENQUEUE(Q,v)

一种更容易读懂的伪代码

Procedure SPFA;

Begin

initialize-single-source(G,s);

initialize-queue(Q);

enqueue(Q,s);

while not empty(Q) do begin

u:=dequeue(Q);

for each v∈adj[u] do begin

tmp:=d[v];

relax(u,v);

if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then enqueue(Q,v);

end;

end;

End;

期望的时间复杂度O(2e)

对SPFA的一个很直观的理解就是由无权图的BFS转化而来.在无权图中,bfs首先到达的顶点所经历的路径一定是最短路(也就是经过的最少顶点数).所以此时利用visit[u],可以使每个顶点只进队一次.在带权图中,最先到达的顶点所计算出来的路径不一定是最短路.一个解决方法是放弃visit数组,此时所需时间自然就是指数级的.所以我们不能放弃visit数组,而是在处理一个已经在队列中且当前所得的路径比原来更好的顶点时,直接更新最优解.